2017年MBA数学辅导：极限、连续、导数、积分[1]

　　极限、连续、导数、积分的概念

　　极限的概念是整个微积分的基础，需要深刻地理解，由极限的概念才能引出连续、导数、积分等概念。极限的概念首先是从数列的极限引出的。对于任意小的正数E，如果存在自然数M，使所有N》M时，|A(N)-A|都小于E，则数列的极限为A。极限不是相等，而是无限接近。而函数的极限是指在X0的一个临域内(不包含X0这一点)，如果对于任意小的正数E，都存在正数Q，使所有(X0-Q，X0+Q)内的点，都满足|F(X)-A|《E，则F(X)在X0点的极限为A。很多求极限的题目都可以用极限的定义直接求出。

　　例如F(X)=(X^2-3X+2)/(X-2),

　　X=2不在函数定义域内，但对于任何X不等于2，F(X)=X-1，因此在X无限接近2，但不等于2时，F(X)无　限接近1，因此F(X)在2处的极限为1。

　　连续的概念。如果函数在X0的极限存在，函数在X0有定义，而且极限值等于函数值，则称F(X)在X0点连续。以上的三个条件缺一不可。

　　在上例中，F(X)在X=2时极限存在，但在X=2这一点没有定义，所以函数在X=2不连续;

　　如果我们定义F(2)=1，补上“缺口”，则函数在X=2变成连续的;

　　如果我们定义F(2)=3，虽然函数在X=2时，极限值和函数值都存在，但不相等，那么函数在X=2还是不连续。

　　由连续又引出了左极限、右极限和左连续、右连续的概念。函数值等于左极限为左连续，函数值等于右极限为右连续。如果函数在X0点左右极限都存在，且都等于函数值，则函数在X=X0时连续。这个定义是解决分段函数连续问题的最重要的、几乎是唯一的方法。

　　如果函数在某个区间内每一点都连续，在区间的左右端点分别左右连续(对闭区间而言)，则称函数在这个区间上连续。

　　导数的概念。导数是函数的变化率，直观地看是指切线的斜率。略有不同的是，切线可以平行于Y轴，此时斜率为无穷大，因此导数不存在，但切线存在。

　　导数的求法也是一个极限的求法。对于X=X0，在X0附近另找一点X1，求X0与X1连线的斜率。当X1无限靠近X0，但不与X0重合时，这两点连线的斜率，就是F(X)在X=X0处的导数。关于导数的题目多数可用导数的定义直接解决。教科书中给出了所有基本函数的导数公式，如果自己能用导数的定义都推导一遍，理解和记忆会更深刻。其中对数的导数公式推导中用到了重要极限：limx-->0

　　(1+x)^(1/x)=e。