已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn平方.（1）求证：(an)平方=2Sn-an（2）求数列｛an｝的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/07 12:16:08

已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn平方.（1）求证：(an)平方=2Sn-an（2）求数列｛an｝的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列
已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn平方.（1）求证：(an)平方=2Sn-an（2）求数列｛an｝的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列 ,求实数m的取值范围.关键是第三问
一二问已有答案

已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn平方.（1）求证：(an)平方=2Sn-an（2）求数列｛an｝的通项公式(3)若bn=2^n+(-1)^n ma是递增数列
1.S(n-1)^2=a1^3+a2^3+.+a(n-1)^3
Sn^2-S(n-1)^2=[Sn-S(n-1)]*[an+a(n-1)]=an[Sn+S(n-1)]=an^3
Sn+S(n-1)=an^2
2Sn-an=an^2
即(an)^2=2Sn-an
2.由2Sn=an^2+an
2S(n-1)=[a(n-1)}^2+a(n-1)
则2an=an^2+an-a(n-1)^2-a(n-1)
an+a(n-1)=[an+a(n-1)][an-a(n-1)]
∵是正项数列｛an｝
∴an-a(n-1)=1
即{an}是公差为1的等差数列,2S1=2a1=a1^2+a1 a1=a1^2 a1=1
∴an=a1+(n-1)=n
3.bn=2^n+(-1)^n man=2^n+mn*(-1)^n
若bn是递增数列,则bn-b(n-1)>0
即2^(n-1)+mn*(-1)^n-m(n-1)*(-1)^(n-1)>0
(a)n为奇数时,2^(n-1)-mn-mn+m>0 2^(n-1)>2mn-m 恒成立
只要n=1成立即可,此时2m-mm-2mn恒成立
只要n=2成立即可,此时m-4m-2/3
综上：-2/3

有数学归纳法。得出一二问结果，an=n，对于第二问。
可以作差。bn-b(n-1)=2^(n-1)+(-1)^n*m*(2*n-1).对n分奇偶讨论，并合并成式子
|m|<2^(2*n-1)/(2*n-1)恒成立。于是转化成求右式的最小值，易知|m|<2/3.

第一二问 an=n
第三问
b(n+1)>=bn得 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m*n>=2^n+(-1)^n*m*n
有 2^n>=(-1)^n*(2*n+1)*m
(1)n为偶数时不妨令n=2*k k=1,2,3,4.....
有 m<=2^(2*k) / (4*k+1) 得 ...

全部展开

第一二问 an=n
第三问
b(n+1)>=bn得 2^(n+1)+(-1)^(n+1)*m*n>=2^n+(-1)^n*m*n
有 2^n>=(-1)^n*(2*n+1)*m
(1)n为偶数时不妨令n=2*k k=1,2,3,4.....
有 m<=2^(2*k) / (4*k+1) 得 m<= 0.8
(2)n为奇数时不妨令n=2*k-1 k=1,2,3,4.....
有 m>=(-1)*2^(2*k-1)/(4*k-1) 得 m>=-2/3
检查特值 -2/3<=m<=0.8

收起