已知函数f(x)=x^2+aln(x+1)若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围,

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 04:15:31
已知函数f(x)=x^2+aln(x+1)若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围,

已知函数f(x)=x^2+aln(x+1)若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围,
已知函数f(x)=x^2+aln(x+1)
若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围,

已知函数f(x)=x^2+aln(x+1)若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立,求实数a的取值范围,
答：
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已知函数f(x)=x²+aln(x+1)，若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立，求实数a的
取值范围。
设F(x)=f(x)-x=x²-x+aln(x+1)≦0在区间[1，2]内恒成立。
由于F'(x)=2x-1+a/(x+1)=(2x²+x-1+a)/(x+1)，在区间[1，2]内，分母x+1>0恒成
立，故只需考虑分...

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已知函数f(x)=x²+aln(x+1)，若对于任意的x∈[1,2],不等式f(x)≤x恒成立，求实数a的
取值范围。
设F(x)=f(x)-x=x²-x+aln(x+1)≦0在区间[1，2]内恒成立。
由于F'(x)=2x-1+a/(x+1)=(2x²+x-1+a)/(x+1)，在区间[1，2]内，分母x+1>0恒成
立，故只需考虑分子u=2x²+x-1+a的符号。由于u是一条开口朝上的抛物线，故当其
判别式Δ=1-8(a-1)=9-8a<0，即a>9/8时对任何x都有u>0，即F(x)是增函数；为使
F(x)≦0在区间[1，2]内恒成立，只需F(2)=4-2+aln3=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3就行
了；但这与前提条件a>9/8矛盾，故无此情况。
当其判别式Δ=9-8a≧0，即a≦9/8时，u=2x²+x-1+a=2(x²+x/2)+a-1
=2[(x+1/4)²-1/16]+a-1=2(x+1/4)²+a-9/8，其对称轴为x=-1/4在区间[1，2]
的左边。又由于其最小值=a-9/8≦0，因此F(x)在区间[1，2]内单调增；故要使
F(x)=x²-x+aln(x+1)≦0在区间[1，2]内恒成立只需F(2)=2+aln3≦0，即a≦-2/ln3
就行了.由此得a的取值范围为（-∞，-2/ln3].

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