已知正方形ABCD边长为2,在正方形ABCD内任取一点M,则点M到边BC的距离大于点M到点A的距离的概率

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 17:20:38

已知正方形ABCD边长为2,在正方形ABCD内任取一点M,则点M到边BC的距离大于点M到点A的距离的概率
已知正方形ABCD边长为2,在正方形ABCD内任取一点M,则点M到边BC的距离大于点M到点A的距离的概率

已知正方形ABCD边长为2,在正方形ABCD内任取一点M,则点M到边BC的距离大于点M到点A的距离的概率
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以B为原点,BC为X轴,BA为Y轴建立坐标系.则A（2,0）,B（0,0),C(0,2）D（2,2）,点M坐标设为M(x,y),所以y>（x^2+(2-y)^2)^(0.5),可以算出y>(x^2)/4+1,算概率就是算被这条曲线分割出的正方形上边的图形面积和正方形面积的比.y=(x^2)/4+1正好过D点,因此只需对y=(x^2)/4+1在0到2上做积分,得到面积和正方形面积比就可以得到M到BC边距离小于到点A距离的概率,用1去减就得到结果.

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以A点为原点构造直角坐标系，B（0，-2） C（2，-2） D（2,0）
设M（a，b），则到BC距离为l=b+2
MA^2>l^2，所以有a^2+b^2>(b+2)^2 即a^2>4b+4（学过高中解析几何就知道M的临界轨迹.是抛物线：因为到一条直线和到一点距离相等的轨迹就是抛物线，那条直线为准限，那个点为焦点）
然后画出抛物线图像，则M在抛物线下侧与正方形的相交部分，抛物线为y=x^2/4-1，在0到2间积分得，抛物线在0到2之间的面积为2/3，所以正方形面积减去2/3就是M满足条件的面积，为10/3，因此概率是10/3除以4，为5/6

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8分之3