设抛物线yˇ2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O.

设抛物线yˇ2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O.
设抛物线yˇ2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O.

设抛物线yˇ2=2px(p>0)的焦点为F,经过F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC平行于x轴,求证：直线AC经过原点O.
F（P/2,0),准线为x=-p/2
设A(x1,y1),B(x2,y2),则C(-p/2,y2)
直线AB方程为y=k(x-p/2)
代入y^2=2px整理得k^2x^2-p(k^2+2)x+p^2k^2/4=0
x1+x2=p(k^2+2)/k^2,x1x2=p^2/4
AC方程为(y-y1)/(x-x1)=(y1-y2)/(x1+p/2)
令x=y=0整理得y1y2=-p^2①
因为y1^2*y2^2=4p^2(x1x2)=p^4
y1y2<0,所以y1y2=-p^2即①成立
故命题成立.