作业帮如图三角形ABC中,AB等于AC,P在射线BD上,且角BPC等于角BAC(1) 求证PA平分角DPC(2)若角BAC等于60°,求证PA+PB=PC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 14:11:51
如图三角形ABC中,AB等于AC,P在射线BD上,且角BPC等于角BAC(1) 求证PA平分角DPC(2)若角BAC等于60°,求证PA+PB=PC
如图三角形ABC中,AB等于AC,P在射线BD上,且角BPC等于角BAC
(1) 求证PA平分角DPC
(2)若角BAC等于60°,求证PA+PB=PC
如图三角形ABC中,AB等于AC,P在射线BD上,且角BPC等于角BAC(1) 求证PA平分角DPC(2)若角BAC等于60°,求证PA+PB=PC
有两种方法：
方法一：有点啰嗦
辅助线：在BD的延长线上截取一点E,使BE=CP.连接AE.
∵∠BPC=∠BAC.
∴∠EBA=∠PCA.
∵在△EBA与△PCA中.
BE=CP,∠EBA=∠PCA,AB=AC.
∴△EBA≌△PCA（SAS）.
∴∠EAB=∠PAC,AE=AP.
∵∠EAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC.
∴∠EAP=∠BAC=∠BPC.
∵∠EAP+∠AEP=∠APC+∠BPC.
∴∠AEP=∠APE=∠APC.
即AP平分∠DPC.
方法二：很简单,不过用了辅助圆
辅助线：辅助圆
∵∠BAC=∠BPC,而且四边形APBC.
∴四边形APBC可以内接在一个圆中.
∴辅助圆成立.
∵圆内接四边形APBC.
∴同弧圆周角相等.
∴∠APC=∠ABC.
∵AB=AC.
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠APB+∠ACB=180°.
∴∠APE=∠ACB=∠ABC=∠APC.
∴PA是∠DPC的角平分线.
找到一种方法
辅助线：在PC上截取PE=PB.连接BE.
∵∠BPC=∠BAC=60°.
∴等边△PBE.
∴∠PBE=60°=∠ABC.
∴∠PBC=∠EBC.
∵在△PBA与△EBC中
PB=BE,∠PBA=∠EBC,AB=BC.
∴△PBA≌△EBC（SAS）.
∴AP=CE.
∵PC=CE+PE.
∴PC=BP+AP.
（1）证明：
在射线BD上截取一点E，使BE=CP，连接AE.
∵∠BPC=∠BAC.（已知）
∴∠EBA=∠PCA.(等量代换)
在△EBA和△PCA中
BE=CP（已作），
∠EBA=∠PCA（已证），
AB=AC.（已知）
∴△EBA≌△PCA（SAS）.
∴∠EAB=∠PAC（全等三角形对应角相等）
AE...
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（1）证明：
在射线BD上截取一点E，使BE=CP，连接AE.
∵∠BPC=∠BAC.（已知）
∴∠EBA=∠PCA.(等量代换)
在△EBA和△PCA中
BE=CP（已作），
∠EBA=∠PCA（已证），
AB=AC.（已知）
∴△EBA≌△PCA（SAS）.
∴∠EAB=∠PAC（全等三角形对应角相等）
AE=AP.（全等三角形对应边相等）
又∵∠EAP+∠PAB=∠PAB+∠BAC.
∴∠EAP=∠BAC=∠BPC.(等量代换)
又∵∠EAP+∠AEP=∠APC+∠BPC.
∴∠AEP=∠APE=∠APC.(等量代换)
即AP平分∠DPC.
（2）证明：
在PC上截取PB=BE.连接BE.
∵∠BPC=∠BAC=60°.（已知）
∴△PBE为等边三角形（等边三角形的定义）
又∵AB=AC.（已知）
∴∠ABC=∠ACB=60°（等边对等角）
∴∠PBE=∠ABC=60°(等量代换)
∴∠PBA=∠EBC(等量代换).
在△PBA与△EBC中
PB=BE（已作）,
∠PBA=∠EBC（已证）,
AB=BC（已知）.
∴△PBA≌△EBC（SAS）.
∴AP=CE（全等三角形对应边相等）.
∵PC=CE+PE.
∴PC=BP+AP(等量代换).
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