y=cos²x-sinx求函数的最大值和最小值,并求使其取得最大值和最小值的x的集合

y=cos²x-sinx求函数的最大值和最小值,并求使其取得最大值和最小值的x的集合
y=cos²x-sinx求函数的最大值和最小值,并求使其取得最大值和最小值的x的集合

y=cos²x-sinx求函数的最大值和最小值,并求使其取得最大值和最小值的x的集合
cos²x=1-sin²x
∴y=1-sin²x-sinx
=-sinx²-sinx+1
令sinx=t,t∈ （-1,1）【因为sinx在定义域上∈ （-1,1）】
∴y=-t²-t+1
=-（t²+t+1/4）+5/4
=-（t+1/2）²+5/4
∴对称轴为t=-1/2
∴当t=-1/2时,ymax=5/4
由二次函数开口向下,离对称轴越远的函数上的点,函数值越小.
∴t=1时,ymin=-（1+1/2）²+5/4=-1
∴ymax=5/4,ymin=-1 （max为最大值,min为最小值）
y取最大值5/4时,t=-1/2
∴sinx=-1/2
∴x=2kπ+7π/6或x=2kπ+11π/6 （k∈Z）
y取最小值-1时,t=1
∴sinx=1
∴x=2kπ+π/2 （k∈Z）
此题重要思路：遇见此类题目可以通过二次函数和三角函数值域相结合来做.
不懂欢饮追问!
学习愉快!

y=cos²x-sinx
=1-sin²x-sinx
=1-(sinx+1/2)²+1/4
=5/4-(sinx+1/2)²

sinx=-1/2 即 x=2kπ+3π/2±π/3 时，函数y=cos²x-sinx 取最大值
sinx=1 即 x=2kπ...

全部展开

y=cos²x-sinx
=1-sin²x-sinx
=1-(sinx+1/2)²+1/4
=5/4-(sinx+1/2)²

sinx=-1/2 即 x=2kπ+3π/2±π/3 时，函数y=cos²x-sinx 取最大值
sinx=1 即 x=2kπ+π/2 时，函数y=cos²x-sinx 取最小值

使函数y=cos²x-sinx 取得最大值的x的集合是{x:x=2kπ+3π/2±π/3 ; k∈Z}
使函数y=cos²x-sinx 取得最小值的x的集合是{x:x=2kπ+π/2 ; k∈Z}

收起

Y=cos²x-sinx
令t=sinx, t∈[-1,1] ， cos²x=1-sin²x=1-t²
y=1-t²-t=-(t+1/2)²+5/4
当t=-1/2时，Ymax=5/4，此时sinx=-1/2，x=
当t=1时，Ymin=-1，此时sinx=1,x=

y = cos²x - sinx
= 1- sin²x - sinx
= - (sin²x + sinx + 1/4) + 5/4
= - (sinx + 1/2)² +5/4
当sinx = -1/2 时，
y取到最大值5/4，
x = { x | -π/6 + 2kπ, -5π/6 + 2kπ, k∈Z}
当sinx = 1 时，
y取到最小值是-1，
x = { x | π/2 + 2kπ, k∈Z}