证明 1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1我们学到导数定积分 请回答者不要用高等代数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 01:18:05
证明 1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1我们学到导数定积分 请回答者不要用高等代数

证明 1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1我们学到导数定积分 请回答者不要用高等代数
证明 1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1
我们学到导数定积分 请回答者不要用高等代数

证明 1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1我们学到导数定积分 请回答者不要用高等代数
构造函数法证明.
注意到ln(n+1)=ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1),
而n/(n+1)=1-1/(n+1)=(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)].
于是我们根据要证明的表达式,两边取通项(x-->1/n)构造函数
f(x)=x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)],x>0,
求导易得f'(x)=x^2/[2(x+1)^2]>0,x>0.
于是f(x)在x>0上单调递增,又f(x)可在x=0处连续,则f(x)>f(0)=0,x>0得x-ln(1+x)-(1/2)[x-x/(x+1)]>0即x>ln(1+x)+(1/2)[x-x/(x+1)],x>0
.再取1/n(>0)替换x有
1/n>ln[(n+1)/n]+(1/2)[1/n-1/(n+1)]
将此不等式式中的n依次从1取到n,累加得
1+1/2+1/3+...+1/n>{ln[(n+1)/n]+ln[n/(n-1)]+...+ln(3/2)+ln(2/1)}+(1/2){(1-1/2)+(1/2-1/3)+...+[1/n-1/(n+1)]}=ln(n+1)+(1/2)[1-1/(n+1)]=ln(n+1)+n/[2(n+1)],
即1+1/2+1/3+...+1/n>ln(n+1)+n/2(n+1) n≥1 (n属于N+)命题得证.

证明不等式：(1/n)^n+(2/n)^n+(3/n)^n+.+(n/n)^n 证明不等式 1+2n+3n 证明2/（3^n-1) 证明…3整除n(n+1)(n+2) 排列证明题证明：1*1!+2*2!+3*3!.n*n!=(n+1)!-1 证明(1+1/n)^n 证明不等式 3^n>(n+1)! 怎样证明n/(n+1) 证明ln(n+1/n) 证明不等式 (n+1)/3 证明1/(n+1)+1/(n+2)+1/(n+3)+……+1/(n+n) 证明:(3^n)*(2^1/n)>(3^n)+(2^1/n)……n属于正整数 n≥3,n∈N,证明3的n-1次幂>2n-1 证明3^n-2^n>2^n,（n＞1,n∈Z） 证明：3^n>1+2n（n>=2,n∈N*） 证明n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)是一个完全平方数 证明：1/(n+1) 证明1/(n+1)