作业帮已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25,直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=01、证明：L恒过点（3,1） ps：已证出可当已知用于第二问.2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线L的方程.我
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 22:04:33
已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25,直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=01、证明：L恒过点（3,1） ps：已证出可当已知用于第二问.2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线L的方程.我
已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25,直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
1、证明：L恒过点（3,1） ps：已证出可当已知用于第二问.
2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线L的方程.
我的分很少,有好心的就帮帮吧!
已知圆C：（x-1）²+（y-2）²=25,直线L：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=01、证明：L恒过点（3,1） ps：已证出可当已知用于第二问.2、求求直线L与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线L的方程.我
1.（1）反证法.将点（3,1）代入直线L.
得6m+3+m+1-7m-4=0化简得0=0.
则说明直线L恒过点（3,1）
（2）（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
2mx+x+my+y-7m-4=0
提出m,
m(2x+y-7)+x+y-4=0
（因为L过定点,所以肯定与m无关）
的方程组：
2x+y-7=0①,x+y-4=0②.
①②联立,解得x=3,y=1.
所以直线L恒过点（3,1）
2.因为过圆心做直线L的垂线时,当垂足为（3,1）时弦长就是最短的,所以依据圆心（1,2）和垂足（3,1）算出弦心距为根号5,已知半径为5,再根据勾股定理就可以得知1/2的弦长然后总弦长就出来了啊~.关于直线L,把点（3,1）代回（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
进去解出m,再把m代回（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0
就可以了.
因为直线L：（2m+1)x+（m+1）y-7m-4=0
所以：2mx+x+my+y-7m-4=0
整理得：（2x+y-7)m+x+y-4=0
2x+y-7=0,x+y-4=0
联立方程组，
解得：x=3,y=1
所以直线L恒过点（3,1）
圆心与点（3，1）的距离为 根号5
那么 这点在圆内 连接点与圆心 求出这个直线A的斜率
再用点斜式求过点（3，1）垂直于直线A的直线 然后你看下图就会了
很简单的
我宁可抄语文 也不要做数学！！！！！！！
将点坐标（3,1）代入直线L的方程
即（2m+1)x+(m+1）y-7m-4=0
(2m+1)*3+(m+1)*1-7m-4=0
解得：7m-7m+4-4=0
所以，L恒过点（3,1）。
第二问提示你一下，当直线L与圆相切时，弦长最短，为0。根据圆的方程求得圆的半径，以及圆的圆心坐标，再用点到直线间的距离公式求得直线方程。
其实很简单，好好思考...
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将点坐标（3,1）代入直线L的方程
即（2m+1)x+(m+1）y-7m-4=0
(2m+1)*3+(m+1)*1-7m-4=0
解得：7m-7m+4-4=0
所以，L恒过点（3,1）。
第二问提示你一下，当直线L与圆相切时，弦长最短，为0。根据圆的方程求得圆的半径，以及圆的圆心坐标，再用点到直线间的距离公式求得直线方程。
其实很简单，好好思考一下啊
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第2问：要求直线L与圆C所截得的弦长的最短，即要求圆心到直线L的距离最大
∵直线L恒过点M（3,1）
∴圆心O（1,2）到直线最长的距离即是圆心O（1,2）到点M（3,1）的距离
∴直线L垂直于OM，|OM|=根号5
OM的斜率k=（2-1)/（1-3）=-1/2
∴直线L的斜率为2
∴-（2m+1）/(m+1)=2
∴m=-3/4
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第2问：要求直线L与圆C所截得的弦长的最短，即要求圆心到直线L的距离最大
∵直线L恒过点M（3,1）
∴圆心O（1,2）到直线最长的距离即是圆心O（1,2）到点M（3,1）的距离
∴直线L垂直于OM，|OM|=根号5
OM的斜率k=（2-1)/（1-3）=-1/2
∴直线L的斜率为2
∴-（2m+1）/(m+1)=2
∴m=-3/4
弦长=2*根号下（25-5）=4*根号5
直线L的方程为2x-y-5=0
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