作业帮求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点（-2,-1,1）处的切线及法平面方程.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 08:13:20
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点（-2,-1,1）处的切线及法平面方程.
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点（-2,-1,1）处的切线及法平面方程.
求曲线x^2-y^2=3和x^2+y^2-z^2=4在点（-2,-1,1）处的切线及法平面方程.
x^2-y^2=3 （1）
x^2+y^2-z^2=4 （2）
（1）（2）分别对x求导：
2x-2ydy/dx=0
2x+2ydy/dx-2zdz/dx=0
所以：dy/dx=x/y
dz/dx=2x/z
所以dy/dx |(-2,-1,1)=2 dz/dx |(-2,-1,1)=-4
所以切线方程是：(x+2)/1=(y+1)/2=(z-1)/-4
法平面方程是：(x+2)*1+(y+1)*2+(z-1)*(-4)=0
就是x+2y-4z+8=0
Z=X2-Z2 且切平面过(3,5,4)
Z'x=2X =6 ，在Y= 5这个平面（Z-X）上导数为6，
∴可以得到一条切线，方向向量可以是（1,0,6），且过切点(3,5,4)
Z'y=2Y=10，在X= 5这个平面（Z-Y）上导数为10，
∴可以得到另一条切线，方向向量可以是（0,1,10），且过切点(3,5,4)
最后，根据这两条切线方程，可以算出...
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Z=X2-Z2 且切平面过(3,5,4)
Z'x=2X =6 ，在Y= 5这个平面（Z-X）上导数为6，
∴可以得到一条切线，方向向量可以是（1,0,6），且过切点(3,5,4)
Z'y=2Y=10，在X= 5这个平面（Z-Y）上导数为10，
∴可以得到另一条切线，方向向量可以是（0,1,10），且过切点(3,5,4)
最后，根据这两条切线方程，可以算出平面方程了
答案是：(X-3)/6=(Y-4)/10=5-Z
当然也可以用公式：曲面Z=F(X,Y)在点(a,b,c)处的切面方程是：
（X-a）/-Z'x（a，b）=（Y-b）/-Z'y（a，b）=（Z-c）
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