f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a,求实数a的值 讨论函数f(x)单调性

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 03:22:20
f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a,求实数a的值 讨论函数f(x)单调性

f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a,求实数a的值 讨论函数f(x)单调性
f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a,求实数a的值 讨论函数f(x)单调性

f(x)=alnx+(2a^2)/x 已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线l斜率为2-3a,求实数a的值 讨论函数f(x)单调性
第一个问题:
∵f(x)=alnx+(2a^2)/x,∴f′(x)=a/x-a^2/x^2,∴l的斜率=f′(1)=a-a^2=2-3a,
∴a^2-4a=-2,∴(a-2)^2=2,∴a-2=√2,或a-2=-√2,
∴a=2+√2,或a=2-√2.
∴满足条件的a的值是(2+√2),或(2-√2).
第二个问题:
一、当a=2+√2时,
f′(x)=a/x-a^2/x^2=(2+√2)/x-(2+√2)^2/x^2=[(2+√2)/x^2][x-(2+√2)].
∴当x>2+√2时,f′(x)>0,当x<2+√2时,f′(x)<0.
∴此时函数的增区间是(2+√2,+∞),减区间是(-∞,2+√2).
二、当a=2-√2时,
f′(x)=a/x-a^2/x^2=(2-√2)/x-(2-√2)^2/x^2=[(2-√2)/x^2][x-(2-√2)].
∴当x>2-√2时,f′(x)>0,当x<2-√2时,f′(x)<0.
∴此时函数的增区间是(2-√2,+∞),减区间是(-∞,2-√2).