作业帮在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=45度,cosB/2=2根号5/5,求三角形ABC的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 07:26:41
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=45度,cosB/2=2根号5/5,求三角形ABC的面积
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=45度,cosB/2=2根号5/5,求三角形ABC的面积
在三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,C=45度,cosB/2=2根号5/5,求三角形ABC的面积
cosB/2=2根号5/5 sinB/2=根号5/5 sinB=2(sinB/2)*(cosB/2)=4/5 cosB=根号5/5或者负根号5/5
(1)cosB=根号5/5
sinA=sin(180-45-B)=sin(135-B)=sin135cosB-cos135sinB=根号2/2cosB+根号2/2sinB
=根号2/2[cosB+sinB]=根号2/2[4+根号5]/5=根号2[4+根号5]/10
正弦定理 a/sinA=b/sinB
b=20/根号2[4+根号5]*4/5 =16/根号2[4+根号5]
S=absinC/2=bsinC=16/根号2[4+根号5]*根号2/2=8/[4+根号5]
(2)cosB=-根号5/5
sinA=根号2[4-根号5]/10
正弦定理 a/sinA=b/sinB
b=20/根号2[4-根号5]*4/5 =16/根号2[4-根号5]
S=absinC/2=bsinC=16/根号2[4-根号5]*根号2/2=8/[4-根号5]
由余弦倍角公式可得到cosB=2倍cosB/2的平方-1=3/5，于是sinB=4/5，
因三角形内角和为180度，所以A=180度-45度-B=135度-B，
从而sinA=sin(135度-B)=sin135度cosB-cos135度sinB=4根号2/5，
由正弦定理a/sinA=b/sinB，得b=根号2，
故三角形ABC面积S=absinC/2=2
作辅助线：作AD⊥BC,D在BC上。
∵∠C=π/4=45°
∴∠CAD=45°
DC=AD,
BD=2-DC=2-AD,
AC=√2AD
AB=√(2AD^2-4AD+4)
cosB=(2-AD)/[√(2AD^2-4AD+4)]
cosB=2cos^2(B/2)-1
=2×[2√(1/5)]^2-1...
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作辅助线：作AD⊥BC,D在BC上。
∵∠C=π/4=45°
∴∠CAD=45°
DC=AD,
BD=2-DC=2-AD,
AC=√2AD
AB=√(2AD^2-4AD+4)
cosB=(2-AD)/[√(2AD^2-4AD+4)]
cosB=2cos^2(B/2)-1
=2×[2√(1/5)]^2-1
=8/5-1
=3/5
(2-AD)/[√(2AD^2-4AD+4)]=3/5
7AD^2-64AD+64=0
AD=(64±48)/14
AD=8或AD=8/7
∵AD<2
∴AD=8舍去
S△ABC＝BC*AD/2=8/7
答：△ABC的面积是8/7。
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