作业帮数列{an}满足:a(1)=1,a(n+1)=3a(n)+2的n+1次方 (n属于N*) .求{an}的通项公式 .好了追加50分 和思路
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 04:15:04
数列{an}满足:a(1)=1,a(n+1)=3a(n)+2的n+1次方 (n属于N*) .求{an}的通项公式 .好了追加50分 和思路
数列{an}满足:a(1)=1,a(n+1)=3a(n)+2的n+1次方 (n属于N*) .
求{an}的通项公式 .好了追加50分 和思路
数列{an}满足:a(1)=1,a(n+1)=3a(n)+2的n+1次方 (n属于N*) .求{an}的通项公式 .好了追加50分 和思路
第一步是等式两边同时除以2的n+1次方,得
a(n+1)/2的n+1次方=3/2乘以a(n)/2的n次方 +1
令b(n)=a(n)/2的n次方
则有b(n+1)=3/2乘以b(n)+1
然后等式两边同时加2,得
b(n+1)+2=3/2乘以b(n)+3
右侧提取3/2得,b(n+1)+2=3/2乘以（b(n)+2）
所以{b(n)+2}是以5/2为首项（注：因为b(1)+2=a(1)/2+2 ) ,3/2为公比的等比数列
由等比数列的通项公式可知 b(n)+2=5/2乘以3/2的（n-1）次方
所以把2移到右边,b(n)=5/2乘以3/2的（n-1）次方 -2
再把 b(n)换回a(n)/2的n次方
两边同时乘以2的n次方,得
a(n)=5乘以3的n-1次方 - 2的n+1次方
这道题是 构造法求数列的通项公式的题
9
a(n+1)+2^(n+2)=3(a(n)+2^(n+1)）
设b(n)=a(n)+2^(n+1),则b(n+1)=3b(n),b1=5,则b(n)=5*3^(n-1)
则a(n)=5*3^(n-1)-2^(n+1),
设等式可化为
a(n+1) +m *2^(n+1)=3[ a(n) +m *2^n]
a(n+1) +m *2^(n+1)=3 a(n) +(3m-2m) *2^n
比较系数 m=2
所以 a(n+1) + 2*2^(n+1)=3[ a(n) +2 *2^n]
所以 {a(n)+2^(n+1)}是等比数列
首项为 a1+2^2=5,公比为3
所以 an+2^(n+1)=5*3^(n-1)
an=5*3^(n-1)-2^(n+1)