作业帮已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an求数列｛bn}的通项公式bn+1=bn+2^an 那个n+1是下标2^an 是2的an次方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/16 09:45:52
已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an求数列｛bn}的通项公式bn+1=bn+2^an 那个n+1是下标2^an 是2的an次方
已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an
求数列｛bn}的通项公式
bn+1=bn+2^an
那个n+1是下标
2^an 是2的an次方
已知{an}是首项为1,公差为1的等差数列,若数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2^an求数列｛bn}的通项公式bn+1=bn+2^an 那个n+1是下标2^an 是2的an次方
首先不难算出,an=n,这一步就略去了,最简单的等差数列.由bn+1=bn+2^an可知如下：
bn =bn-1+2^an-1
bn-1=bn-2+2^an-2
bn-2=bn-3+2^an-3
……
b2 =b1+2^1
将以上等式两边分别叠加,然后发现很多项就可以消掉了,最终得到如下：
bn=b1+2^1+2^2+2^3+.+2^n-1,由于b1=1,因此bn就是一个首项为1,公比为2的等比数列,一共有n项,用求和公式即可.需要注意的是,虽然最后只加到了2^n-1,但是确实是有n项的,而不是n-1项,因为首项是1,可以看做2^0,这样从0到n-1,一共是n项.
显然an=n，那么bn+1=bn+2^n，迭代得到bn=b1+2+2^2+...+2^n)=1+2^(n+1)-2=2^(n+1)-1
bn+1-bn=2^an bn-bn-1=2^an-1 an=a1+(n-1)d=n bn-bn-1=2^(n-1)
bn-1-bn-2=2^(n-2) bn-2-bn-3=2^(n-3) ...... b2-b1=2^1
叠加，得 bn-b1=2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^1 bn=2^(n-1)+2^(n-2)+...+2^1+2^0(b1=1=2^0)
所以 bn=2^n-1
bn+1=bn+2^an 会不会弄错了？