已知在三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,且CD=CB,求证：AD的平方=AB的平方+2个BC的平方越快越好,要详细,可以追分

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 18:09:50

已知在三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,且CD=CB,求证：AD的平方=AB的平方+2个BC的平方越快越好,要详细,可以追分
已知在三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,且CD=CB,求证：AD的平方=AB的平方+2个BC的平方
越快越好,要详细,可以追分

已知在三角形ABC中,AB=AC,延长BC到点D,且CD=CB,求证：AD的平方=AB的平方+2个BC的平方越快越好,要详细,可以追分
证明：如图
过点A作AE⊥BC于E
∵AB=AC,AE⊥BC
∴BE=EC=BC/2
∵CD=BC
∴DE=3BC/2
∵AD²=AE²+ED²,AE²=AB²-BE²
∴AD²=AB²-BE²+ED²=AB²-(BC/2)²+(3BC/2)²=AB²-BC²/4+9BC²/4=AB²+2BC²

过A做AE⊥BC,垂足为E,
∵AB=AB,AE⊥BC∴BE=CE=BC/2,且CD=BC
由勾股定理得
AD^2=AE^2+DE^2
=AB^2-BE^2+(CD+CE)^2
=AB^2-BE^2+CD^2+2CD*CE+CE^2
=AB^2+BC^2+2*BC*BC/2
=AB^2+2BC^2

用余弦定理解决
AD²=AB²＋BD²-2×AB×BD×cos∠B
=AB²＋(2BC)²-2×AB×2BC×cos∠B
=AB²+4BC²-2×(2AC×CD×(-cos∠ACB))
=AB²+4BC²＋2×(AC²＋CD²－AD&sup...

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用余弦定理解决
AD²=AB²＋BD²-2×AB×BD×cos∠B
=AB²＋(2BC)²-2×AB×2BC×cos∠B
=AB²+4BC²-2×(2AC×CD×(-cos∠ACB))
=AB²+4BC²＋2×(AC²＋CD²－AD²)
=AB²＋4BC²＋2AC²＋2CD²－2AD²
3AD²=3AB²+6BC²
AD²=AB²+3BC²
命题得证。
余弦定理：a²=b²+c²-2bc×cosA

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