作业帮四棱锥P-ABCD,PA⊥底ABCD,PC⊥AD,底ABCD为梯形,AB平行DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,E在PB上,PE=2EB,求PD平行EAC
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:16:59
四棱锥P-ABCD,PA⊥底ABCD,PC⊥AD,底ABCD为梯形,AB平行DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,E在PB上,PE=2EB,求PD平行EAC
四棱锥P-ABCD,PA⊥底ABCD,PC⊥AD,底ABCD为梯形,AB平行DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,E在PB上,PE=2EB,求PD平行EAC
四棱锥P-ABCD,PA⊥底ABCD,PC⊥AD,底ABCD为梯形,AB平行DC,AB⊥BC,PA=AB=BC,E在PB上,PE=2EB,求PD平行EAC
图像如图所示
连接D,B,设BD与AC相交于点F,连接EF.
PC⊥AD,AD⊥PA.=>AD⊥面PAC =>AD⊥AC即∠DAC=90°.
∠ABC=90°,AB=BC ,AB‖DC =>∠ABC=90°,∠DCA=45°,AC=√2AB
可知三角形DAC为等腰直角三角形,可知DC=2AB
DC=2AB,AB‖DC =>AB/DC=BF/DF,即DF=2BF
又因为PE=2EB,可知EF‖PD,因为EF在面EAC上.
可知PD‖EAC.
PA=AB PA⊥底ABCD 所以三角形PAB为等腰直角三角形 即有 PB=V2PA PE=2EB 即有 PE==(2V2/3)PA EB=（V2/3）PA AB⊥BC AB=BC 所以三角形PAB为等腰直角三角形 AC=V2PA PA⊥底ABCD 则 PA⊥AD 又因PC⊥AD 则AD垂直于面PAC 则有 AC⊥AD AB平行DC 角BAC=45度 则有 角ACD=45度 所以 三角形PAB为等腰直角三角形 即 AD=AC=V2PA 建立坐标系 A为原点 AB为x轴 AP为z轴 BC过A点平行线为y轴 设 PA=AB=BC=a AD=AC=PB=V2 a EB=（V2/3）a PE=(2V2/3)a A（0,0,0）；B（a，0,0）；C（a，a，0）；P（0,0，a）； E（（2/3）a，0，(1/3)a）;D(-a,a,0) AE=（（2/3）a，0，(1/3)a）; AC=（a，a，0） 设 向量n过A点 且 n垂直于 面 EAC 则 n 分别与 AE AC垂直n=（m，n，l） m*2a/3+l*a/3=0 ma+na=0 则 2m+l=0 m+n=0 相减即有m-n+l=0 PD=（-a，a，-a） 要证PD平行于面EAC 只需证 PD垂直于n 即 -a*m+ a*n-a*l=0 即 m-n+l=0 可知PD垂直于n 所以证得PD平行EAC