作业帮数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn大于0,且an=2Sn平方除以(2Sn-1),设存在正整数k,使得（1+S1）（1+S2）•••（1+Sn）大于等于k*根号（2n+1）对一切n属于正整数都成立,求k的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 12:59:37
数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn大于0,且an=2Sn平方除以(2Sn-1),设存在正整数k,使得（1+S1）（1+S2）•••（1+Sn）大于等于k*根号（2n+1）对一切n属于正整数都成立,求k的最大值
数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn大于0,且an=2Sn平方除以(2Sn-1),设存在正整数k,
使得（1+S1）（1+S2）•••（1+Sn）大于等于k*根号（2n+1）对一切n属于正整数都成立,求k的最大值
数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn大于0,且an=2Sn平方除以(2Sn-1),设存在正整数k,使得（1+S1）（1+S2）•••（1+Sn）大于等于k*根号（2n+1）对一切n属于正整数都成立,求k的最大值
题目有问题,给出的an=的表达式需要注明n≥2
n≥2时,
an=Sn-S(n-1)=2Sn²/(2Sn -1)
2Sn²-Sn-2SnS(n-1) +S(n-1)=2Sn²
S(n-1)-Sn=2SnS(n-1)
等式两边同除以SnS(n-1)
1/Sn -1/S(n-1)=2,为定值.
1/S1=1/a1=1/1=1
数列{1/Sn}是以1为首项,2为公差的等差数列.
1/Sn=1+2(n-1)=2n-1
Sn=1/(2n-1)
1+Sn=1+ 1/(2n-1)=(2n-1+1)/(2n-1)=2n/(2n-1)
(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)=(2×1/1)(2×2/3)...[2n/(2n-1)]=2ⁿ×n!/[1×3×...×(2n-1)]
[(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)(1+S(n+1))/√(2n+3)]/[(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)]
={2^(n+1) ×(n+1)!/[1×3×...×(2n+1)√(2n+3)]}/{2ⁿ×n!/[1×3×...×(2n-1)√(2n+1)]}
=2(n+1)√(2n+1)/[(2n+1)√(2n+3)]
=√[4(n+1)²(2n+1)]/√[(2n+1)²(2n+3)]
=√(8n³+20n²+16n+4)/√(8n³+20n²+14n+3)
=√(8n³+20n²+14n+3+2n+1)/√(8n³+20n²+14n+3)
>1
即随n增大,(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)单调递增.
当n=1时,式子有最小值(1+S1)/√3=2/√3=2√3/3
要不等式对于一切n恒成立,则(1+S1)(1+S2)...(1+Sn)/√(2n+1)取最小值时不等式成立.
k≤2√3/3