作业帮设函数f(x)=（a/2）x^2（a≠0）,g(x)=x+1/e^x.证明：当a≥1时,不等式（1-(a/2)x^2)e^x≤x+1.对任意x属于【0，+∞)恒成立
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 17:08:10
设函数f(x)=（a/2）x^2（a≠0）,g(x)=x+1/e^x.证明：当a≥1时,不等式（1-(a/2)x^2)e^x≤x+1.对任意x属于【0，+∞)恒成立
设函数f(x)=（a/2）x^2（a≠0）,g(x)=x+1/e^x.证明：当a≥1时,不等式（1-(a/2)x^2)e^x≤x+1.
对任意x属于【0，+∞)恒成立
设函数f(x)=（a/2）x^2（a≠0）,g(x)=x+1/e^x.证明：当a≥1时,不等式（1-(a/2)x^2)e^x≤x+1.对任意x属于【0，+∞)恒成立
令y=f(x)+g(x)
即证y≥1 对任意x∈R恒成立（a≥1）
y'=x+2/e^x +ax
y''=x+3/e^x +a＞0
所以y'在R上单调增
当x趋向于负无穷时,y'＜0
当x趋向于正无穷时,y'＞0
所以y'=0有且仅有一解,记为x.
即为x.+2/e^x .+ax.=0 【当x=0时,y'=2＞0 所以x.＜0】
所以y在(-∞,x.)单调减,在(x.,+∞)单调增
所以y≥x.+1/e^x.+（a/2）x.^2
=x.+2/e^x.+ax.-ax.-1/e^x.+（a/2）x.^2
=-ax.-1/e^x.+（a/2）x.^2
记m(x.)=-ax.-1/e^x.+（a/2）x.^2
m'=ax.+1/e^x.-a＜0
所以m单调减
所以m(x.)＞m(0)=y(0)=1
所以y≥1
所以原命题得证
大于等于的逻辑意义是大于或等于,这里''＝''实际上取不到,但是命题是正确的
PS：不懂再问哈,最近高考结束了,时间挺多
做完这题觉得有点奇怪,a＞0貌似就可以做了,maybe我看错了?还是哪边括号什么你没写?
尝试一下数形结合
这里涉及到一个基本不等式：X+1≦e^x
然后你要对这个不等式进行分析，e^x的系数大于一行不行，小于一行不行。然后熟悉了这个背景知识，你这道题就好解了。
一楼做得漂亮
另外提问的同学很细心啊，多谢多谢！
设函数f(x)=(a/2)x²（a≠0），g(x)=x+1/e^x。 证明：当a≥1时，不等式[1-(a/2)x²]e^x≤x+1；对任意
x∈[0，+∞)恒成立.
设F(x)=[1-(a/2)x²]e^x-x-1；
F'(x)=[1-(a/2)x²]e^x-axe^x-1=[-(a/2)x²-ax+1]e^x-1=-(a/...
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设函数f(x)=(a/2)x²（a≠0），g(x)=x+1/e^x。 证明：当a≥1时，不等式[1-(a/2)x²]e^x≤x+1；对任意
x∈[0，+∞)恒成立.
设F(x)=[1-(a/2)x²]e^x-x-1；
F'(x)=[1-(a/2)x²]e^x-axe^x-1=[-(a/2)x²-ax+1]e^x-1=-(a/2)[x²+2x-(2/a)]e^x-1
=-(a/2)[(x+1)²-1-(2/a)]e^x-1=[-(a/2)(x+1)²+a/2+1]e^x-1≦0；这是因为a≥1，x≥0；故当x=0时F'(x)获得最大值0；因此F(x)在区间[0，+∞)上单调减；maxF(x)=F(0)=0；
故在区间[0，+∞)上恒有F(x)=[1-(a/2)x²]e^x-x-1≦0，即不等式[1-(a/2)x²]e^x≤x+1在区间[0，+∞)上恒成立。于是命题得证。
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