已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 11:18:26

已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=
已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=

已知等比数列｛an｝各项均为正数,数列｛bn｝满足bn=log2an,且b1+b2+b3=3,b1b2b3=-3求通项an=
an为等比数列
由于bn=log2an,则bn为等差数列,设bn公差为d
则 b1+b2+b3=3 推出 3b1+3d=3 进而 d=1-b1
再由题：b1b2b3=-3 推出b1^3+3*d*b1^2+2*d^2*b1=-3
于是可以解得b1=-1或b1=3
若b1=-1
d=1-b1=2,b2=b1+d=1；
a1=0.5,a2=2；
所以公比为4
an=0.5*4^n;
若b1=3
d=1-b1=-2,b2=b1+d=1
a1=8,a2=2;
所以公比为0.25；
an=8*(0.25)^n
说明：
题中说an各项均为正数,则公比为正数,是为了保证log2q有意义而已

因为a1*a3=a2*a2,可得b1=1,则a1=e/2,
{b1+b3=2
{b1*b2=-3
可得
第一种情况:b1=-1,b2=1,b3=3,则an=e/2*(e2)n-2=(e)2n-3/2
第二种情况:b1=3,b2=1,b3=-1,则an=(e)5-2n/2

设首项为a1，公比为q
bn=log2an
则
b1=log2a1，b2=log2a2，b3=log2a3
则b1+b2+b3=3
log2a1a2a3=3
所以a1^3q^3=2^3
则a1q=2
b1b2b3=-3
则log2a1*（log2a1+log2q）*（log2a1+2log2q）=-3
得a1=8,q=1/4
所以an=8*(1/4)^(n-1)