如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A.C不重合),点F在斜边AB上(点F与A.B都不重合),设AE=x,△AEF=y试问:是否存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的值;不存在

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/10 23:01:08
如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A.C不重合),点F在斜边AB上(点F与A.B都不重合),设AE=x,△AEF=y试问:是否存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的值;不存在

如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A.C不重合),点F在斜边AB上(点F与A.B都不重合),设AE=x,△AEF=y试问:是否存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的值;不存在
如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A.C不重合),点F在斜边AB上(点F与A.B都不重合),设AE=x,△AEF=y
试问:是否存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的值;不存在,请说明理由.

S△AEF=y

如图,在RT△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=4,点E在AC上(点E与A.C不重合),点F在斜边AB上(点F与A.B都不重合),设AE=x,△AEF=y试问:是否存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分?若存在,求出AE的值;不存在
依题意可知AB=5,△ABC的周长=3+4+5=12,△ABC的面积=(1/2)3*4=6


若EF平分RT△ABC的周长则AF=(12/2)-x=6-x
过F作FG垂直AC于G,则三角形AFG相似三角形ABC,所以AF:AB=FG:BC即(6-x)/5=FG/4
则FG=(24-4x)/5
则S△AEF=y=x*FG÷2=(12x-2x^2)/5


若直线EF能同时将RT△ABC的面积平分
则有y=(12x-2x^2)/5=6/2化简得到


解得


小于3符合题意,故存在


 
大于3不符合题意,故舍弃


综上,存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分,此时AE=

AB=5, △ABC的周长=3+4+5=12, △ABC的面积=(1/2)3*4=6
AF=(12/2)-x=6-x
y/△ABC的面积=(AE*AF)/(AC*AB)
y/6=x(6-x)/15
y=(2/5)x(6-x)
(2/5)x(6-x)=16/5
x^2-6x+8=0
(x-2)(x-4)=0
x=2或4

由勾股定理可知AB=5,所以三角形的周长为12
当EF平分△ABC的周长时,AE+AF=6,
∵AE=X,∴AF=6-X
过点F作FP⊥AC,则△AFP∽ACB
所以AF/AB=EP/BC,
所以EP=(24-4X)/5
所以y=(24x-4x²)/10
此时的y是当EF平分△ABC周长,
假设EF能平分△ABC面积,

全部展开

由勾股定理可知AB=5,所以三角形的周长为12
当EF平分△ABC的周长时,AE+AF=6,
∵AE=X,∴AF=6-X
过点F作FP⊥AC,则△AFP∽ACB
所以AF/AB=EP/BC,
所以EP=(24-4X)/5
所以y=(24x-4x²)/10
此时的y是当EF平分△ABC周长,
假设EF能平分△ABC面积,
那么(24x-4x²)/10=3
所以x=2或3(符合题意)
所以当x=2或3,在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分
手打的,望采纳

收起

过F作FD垂直AC于D,则三角形AFD相似三角形ABC,所以AF:AB=FD:BC
假设存在 设AF=z (z大于0小于5) (x大于0小于3)
所以z:5= FD:4 ,所以PD= 4z/5
所以y= 1/2*x*4z/5
3) 把y= 6代入y= 1/2*x*4z/5 、得 6 =1/2*x*4z/5 x=15/z
当z=1时 x=15...

全部展开

过F作FD垂直AC于D,则三角形AFD相似三角形ABC,所以AF:AB=FD:BC
假设存在 设AF=z (z大于0小于5) (x大于0小于3)
所以z:5= FD:4 ,所以PD= 4z/5
所以y= 1/2*x*4z/5
3) 把y= 6代入y= 1/2*x*4z/5 、得 6 =1/2*x*4z/5 x=15/z
当z=1时 x=15 不成立
当z=2时 x=15/2 不成立
当z=3时 x=5 不成立
当z=4时 x=15/4 不成立
所以不存在直线EF将RT△ABC的周长和面积同时平分

收起

确定是初三的?!!!
这么难!!!