设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是答案是1-根号2

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/16 02:04:59
设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是答案是1-根号2

设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是答案是1-根号2
设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是
答案是1-根号2

设实数x,y满足x^2+(y-1)^2≤1,则x+y的最小值是答案是1-根号2

 

x^2+(y-1)^2≤1,表示圆跟圆的内部,设z=x+y

由图知直线y=-x+z与圆的下方相切时截距最小,即z最小

此时,圆心(0,1)到直线x+y-z=0的距离等于半径1

所以用点到直线的距离公式有|1-z|/√2=1,解得z=1±√2.,取+时得到z的最大值,取-时得到z的最小值,所以z的最小值为1-√2.

画出x^2+(y-1)^2≤1的图。x和y的范围就是圆上和园内,要让x+y最小,就是x+y=z中的z最小,就是x+y=z与圆向切后截距z最小。所以就是x=-2分子根号2.y=1-2分子根号2。

∵2xy
=(x+y)^2-(x^2+y^2)
=(x+y)^2-1
=(x+y+1)(x+y-1)
∴2xy/(x+y-1)
=x+y+1
≥-√[2(x^2+y^2)]+1
=1-√2,
∴2xy/(x+y-1)的最小值为1-√2.