已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn求证求1数列｛an｝的通项公式

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 01:35:41

已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn求证求1数列｛an｝的通项公式
已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn
求证求1数列｛an｝的通项公式

已知正项数列｛an｝的前n项和为Sn,对任意n属于N*都有（a1）3次方+（a2）3次方+（a3）3次方+…+an3次方=Sn求证求1数列｛an｝的通项公式
令n=1
a1³=S1=a1
a1(a1²-1)=0
a1(a1+1)(a1-1)=0
数列为正项数列,a1>0 a1+1>0,要等式成立,只有a1-1=0 a1=1
n≥2时,
Sn=a1³+a2³+...+a(n-1)³+an³
Sn-1=a1³+a2³+...+a(n-1)³
an=Sn-Sn-1=an³
an(an²-1)=0
an(an+1)(an-1)=0
数列为正项数列,an>0 an+1>0,要等式成立,只有an-1=0 an=1
数列{an}是各项均为1的常数数列.
an=1

依题意得
令n=1
∴a1³=S1²=a1²
＝》a1²(a1-1)=0
∵数列为正项数列，a1>0 要等式成立，只有a1-1=0
∴ a1=1
当n≥2时，
有Sn²=a1³+a2³+...+a(n-1)³+an³
Sn-1 ²...

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依题意得
令n=1
∴a1³=S1²=a1²
＝》a1²(a1-1)=0
∵数列为正项数列，a1>0 要等式成立，只有a1-1=0
∴ a1=1
当n≥2时，
有Sn²=a1³+a2³+...+a(n-1)³+an³
Sn-1 ²=a1³+a2³+...+a(n-1)³
两式相减得：Sn²-Sn-1 ²=an³
∴(Sn+Sn-1)(Sn-Sn-1)=an³
∴an(Sn+Sn-1)=an³
∴Sn+Sn-1=an²
∴Sn+Sn-an=an²
∴2Sn=an²+an
＝》2Sn-1=a(n-1)²+a(n-1)
＝》2an=2Sn-2Sn-1=an²+an-a(n-1)²-a(n-1)
＝》an²-an-a(n-1)²-a(n-1)=0
＝》[an²-a(n-1)²]-[an+a(n-1)]=0
＝》[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
＝》[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
∵数列为正项数列，
∴an+a(n-1)>0 要等式成立，只有an-a(n-1)-1=0 an-a(n-1)=1，为定值。
又∵a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
∴an=n
∴数列{an}的通项公式为an=n

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