利用函数的奇偶性计算下列积分:大侠们帮俺做一做啊拜托了

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/24 15:42:45

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利用函数的奇偶性计算下列积分:

大侠们帮俺做一做啊拜托了

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14
(1) f(x) = x⁴sinx
f(-x) = (-x)⁴sin(-x) = -x⁴sinx
为奇函数.积分区间关于y轴对称,积分为0
(2)
cos⁴θ为偶函数,可以变为(4cos2θ + cos4θ + 3)/8
积分区间关于y轴对称,积分为(4cos2θ + cos4θ + 3)/8从0到π/2的积分的2倍
= 2[2sin2θ + (1/4)sin4θ + 3θ]/8 从0到π/2
= (1/4)(2*0 + 0*1/4 + 3π/2) - (1/4)(2*0 + 0*1/4 + 0)
= 3π/8
15.
(1)
二者交于(0,0),(1,0); 0 < x < 1时,√x > x
S = ∫₀¹(√x - x)dx
= [(2/3)√x³ - x²/2]|¹
= 2/3 - 1/2
= 1/6
(2)
2x = 3 - x²
x² + 2x - 3 = (x + 3)(x -1) = 0
二者交于(-3,-6),(1,2)
0-3< x < 1时,3 - x² > 2x
S = ∫₋₃¹(3 - x² - 2x)dx
= (3x -x³/3 - x²)|₋₃¹
= (3 - 1 - 1/3) - (-9 - 9 + 9)
= 32/3

14(1)积分区域是对称的，被积函数为奇函数，所以原式=0
（2）积分区域对称，被积函数为偶函数，积分区域从0到pi/2,变成2倍，有一个公式，可以得cosx转化为sinx直接计算，再用一个公式得，原式=3pi/2

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