作业帮E.F为正方形ABCD对角线AC上的两个动点,且满足条件 AE的平方+CF的平方=EF的平方 （1）求角EBF的度数（2）过A作AG垂直于BE,交BE的延长线于G,交BF的延长线于P,连接PD,求（PB+PD)/PA的值要用初中方法
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/11 14:16:17
E.F为正方形ABCD对角线AC上的两个动点,且满足条件 AE的平方+CF的平方=EF的平方 （1）求角EBF的度数（2）过A作AG垂直于BE,交BE的延长线于G,交BF的延长线于P,连接PD,求（PB+PD)/PA的值要用初中方法
E.F为正方形ABCD对角线AC上的两个动点,且满足条件 AE的平方+CF的平方=EF的平方 （1）求角EBF的度数
（2）过A作AG垂直于BE,交BE的延长线于G,交BF的延长线于P,连接PD,求（PB+PD)/PA的值
要用初中方法
E.F为正方形ABCD对角线AC上的两个动点,且满足条件 AE的平方+CF的平方=EF的平方 （1）求角EBF的度数（2）过A作AG垂直于BE,交BE的延长线于G,交BF的延长线于P,连接PD,求（PB+PD)/PA的值要用初中方法
（1）
过E作EH⊥AB交AB于H,过F作FJ⊥AB交AB于J,过E作EK⊥FJ依次交FJ、BC于K、L,过F作FM⊥BC交BC于M.
∵ABCD是正方形,∴容易证得：
AE^2＝2EH^2＝2KJ^2, CF^2＝2FM^2＝2BJ^2, EF^2＝2EK^2
而AE^2＋CF^2＝EF^2,∴2KJ^2＋2BJ^2＝2EK^2,即：KJ^2＋BJ^2＝EK^2,
又KJ^2＋BJ^2＝BK^2,∴EK^2＝BK^2,得：EK＝BK.
显然,有：FK＝EK,∴EK＝BK＝FK.∴∠EBK＝∠BEK＝∠FBK＝∠BFK.
易知：∠KEF＝∠KFE＝45°,
∵∠EBK＋∠BEK＋∠FBK＋∠BFK＋∠KEF＝∠KFE＝180°,
∴4∠EBK＝180°－2×45°＝90°,∴∠EBF＝2∠EBK＝45°.
（2）
延长PB至Q,使PD＝BQ.
∵∠EBF＝45°,BG⊥PG,∴∠APB＝45°,显然∠ADB＝45°,∴A、B、P、D共圆.
∴∠ADP＝∠ABQ.
由AD＝AB,DP＝BQ,∠ADP＝∠ABQ,得：△ADP≌△ABQ,∴PA＝AQ.
由PA＝AQ,∠APB＝45°,得：△APQ是以PQ为斜边的等腰直角三角形,∴PQ/PA＝√2.
即：（PB＋BQ）/PA＝√2,也即：（PB＋PD）/PA＝√2.