如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、C不重合）,Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 18:19:54

如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、C不重合）,Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D
如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、C不重合）,Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D．
（1）当∠BQD=30°时,求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变,求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动（与A、C不重合）,Q是CB延长线上一点,与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合）,过P作PE⊥AB于E,连接PQ交AB于D
(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴∠ACB=60°,
∵∠BQD=30°,
∴∠QCP=90°,
设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,
∴QC=QB+C=6+x,
∵在Rt△QCP中,∠BQD=30°,
∴PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),解得x=2；
(2)当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,
又∵PE⊥AB于E,
∴∠DFQ=∠AEP=90°,
∵点P、Q做匀速运动且速度相同,
∴AP=BQ,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°,
∴在△APE和△BQF中,
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°,
∴∠APE=∠BQF,
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF,
∴AE=BF,PE=QF且PE∥QF,
∴四边形PEQF是平行四边形,
∴DE=½EF,
∵EB+AE=BE+BF=AB,
∴DE=½AB,
又∵等边△ABC的边长为6,
∴DE=3,
∴当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变．
分析：(1))由△ABC是边长为6的等边三角形,可知∠ACB=60°,再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°,设AP=x,则PC=6﹣x,QB=x,在Rt△QCP中,∠BQD=30°,PC=½QC,即6﹣x=½(6+x),求出x的值即可；
(2)作QF⊥AB,交直线AB的延长线于点F,连接QE,PF,由点P、Q做匀速运动且速度相同,可知AP=BQ,
再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF,再由AE=BF,PE=QF且PE∥QF,可知四边形PEQF是平行四边形,进而可得出EB+AE=BE+BF=AB,DE=½AB,由等边△ABC的边长为6可得出DE=3,故当点P、Q运动时,线段DE的长度不会改变．
点评：本题考查的是等边三角形的性质及全等三角形的判定定理、平行四边形的判定与性质,根据题意作出辅助线构造出全等三角形是解答此题的关键．

（1）首先，AP=BQ，当∠BQD=30°时，△PQC是直角三角形，设AP=BQ=x，那么，QC=2PC，即6+x=2（6-x），解方程x=2，即AP=2。
（2）DE长度不变，为3。设AP=x，则AE=0.5x，BD=6-DE-0.5x，过D做DF平行AC交BC于F，则△QDF相似于△QPC，其中△BDF为正三角形。三角形相似，对应边成比例，可得QC/CF=PC/DF，即（6+x）/（6...

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（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠ACB=60°。
　　∵∠BQD=30°，∴∠QCP=90°。
　　设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，∴QC=QB+C=6+x。
　　∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，∴PC=QC，即6﹣x=（6+x），解得x=2。
　　∴当∠BQD=30°时，AP=2。
　　（2）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。理由如下：
　　作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF。
　　∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ=∠AEP=90°。
　　∵点P、Q做匀速运动且速度相同，∴AP=BQ。
　　∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°。
　　∴在△APE和△BQF中，
　　∵∠A=∠FBQ，AP=BQ，∠AEP=∠BFQ=90°，∴△APE≌△BQF（AAS）。
　　∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF。∴四边形PEQF是平行四边形。
　　∴DE=EF。
　　∵EB+AE=BE+BF=AB，∴DE=AB。
　　又∵等边△ABC的边长为6，∴DE=3。
　　∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。
　　【考点】动点问题，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。
　　【分析】（1）由△ABC是边长为6的等边三角形，可知∠ACB=60°，再由∠BQD=30°可知∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，在Rt△QCP中，∠BQD=30°，PC=QC，即6﹣x=（6+x），求出x的值即可。
　　（2）作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，由点P、Q做匀速运动且速度相同，可知AP=BQ，再根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BQF，再由AE=BF，PE=QF且PE∥QF，可知四边形PEQF是平行四边形，进而可得出EB+AE=BE+BF=AB，DE=AB，由等边△ABC的边长为6可得出DE=3，故当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变。

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(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QCP=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+C=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；
(2)当点P、Q运动时，线段D...

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(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵∠BQD=30°，
∴∠QCP=90°，
设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x，
∴QC=QB+C=6+x，
∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°，
∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；
(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，
又∵PE⊥AB于E，
∴∠DFQ=∠AEP=90°，
∵点P、Q做匀速运动且速度相同，
∴AP=BQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°，
∴在△APE和△BQF中，
∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°，
∴∠APE=∠BQF，
∴∠A=∠FBQ
AP=BQ
∠AEP=∠BFQ
∴△APE≌△BQF，
∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF，
∴四边形PEQF是平行四边形，
∴DE=½EF，
∵EB+AE=BE+BF=AB，
∴DE=½AB，
又∵等边△ABC的边长为6，
∴DE=3，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

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(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+C=6+x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°， ∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会...

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(1)∵△ABC是边长为6的等边三角形， ∴∠ACB=60°， ∵∠BQD=30°， ∴∠QCP=90°，设AP=x，则PC=6﹣x，QB=x， ∴QC=QB+C=6+x， ∵在Rt△QCP中，∠BQD=30°， ∴PC=½QC，即6﹣x=½(6+x)，解得x=2；(2)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E， ∴∠DFQ=∠AEP=90°， ∵点P、Q做匀速运动且速度相同， ∴AP=BQ， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠FBQ=60°， ∴在△APE和△BQF中， ∵∠A=∠FBQ∠AEP=∠BFQ=90°， ∴∠APE=∠BQF，∴∠A=∠FBQAP=BQ∠AEP=∠BFQ∴△APE≌△BQF， ∴AE=BF，PE=QF且PE∥QF， ∴四边形PEQF是平行四边形， ∴DE=½EF， ∵EB+AE=BE+BF=AB， ∴DE=½AB，又∵等边△ABC的边长为6， ∴DE=3， ∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．

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(2)因为所以因为所以因为AP=2
所以AE=1，AD=4
DE=4-1=3