作业帮如图已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,以斜边上的高线CO于斜边AB为轴建立直角坐标系已知OA等于1,AC＝根号5以BC为直径的圆上是否存在点D,使得△BCD△AOC相似,若存在,请写出点D的坐标提示,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 04:14:50
如图已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,以斜边上的高线CO于斜边AB为轴建立直角坐标系已知OA等于1,AC＝根号5以BC为直径的圆上是否存在点D,使得△BCD△AOC相似,若存在,请写出点D的坐标提示,
如图已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,以斜边上的高线CO于斜边AB为轴建立直角坐标系已知OA等于1,AC＝根号5
以BC为直径的圆上是否存在点D,使得△BCD△AOC相似,若存在,请写出点D的坐标
提示,
如图已知在Rt△ABC中,∠ACB=Rt∠,以斜边上的高线CO于斜边AB为轴建立直角坐标系已知OA等于1,AC＝根号5以BC为直径的圆上是否存在点D,使得△BCD△AOC相似,若存在,请写出点D的坐标提示,
根据题意,A点坐标是 （-1,0）
因为|OA|=1 |AC|=√5 ,所以,|OC|=2 则C点坐标是（0,2）
AC所在的直线是 y/2-x=1 ,即 y=2x+2
因为BC垂直于AC,所以,BC所在直线的方程是 y=-1/2x+2 ,它与X轴的交点是B（4,0）
那么 AB的中点 是（2,1）,AB=2√5
因此 以AB为直径的圆方程是
(x-2)²+(y-1)²=5
显然,这个圆经过原点O
设D(x,y)是圆上一点,且满足三角形BCD相似于三角形AOC
由于,三角形BCD是直角三角形,（BC是直径,直径所对的圆周角是直角）
那么,只要满足
△AOC是直角三角形，与其相似只要一个锐角等于∠A
△BCD是以BC为斜边的直角三角形（直径上的圆周角等于90°）
故 可做∠DCB=∠A有两个，其中一个就是O点, 或 ∠DBC=∠A，也有两个，共4个。
OC=√(AC²-OA²)=2
∵Rt△OBC∽Rt△OCA
则 OB:OC=OC:OA
OB=OC²/OA=4<...
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△AOC是直角三角形，与其相似只要一个锐角等于∠A
△BCD是以BC为斜边的直角三角形（直径上的圆周角等于90°）
故 可做∠DCB=∠A有两个，其中一个就是O点, 或 ∠DBC=∠A，也有两个，共4个。
OC=√(AC²-OA²)=2
∵Rt△OBC∽Rt△OCA
则 OB:OC=OC:OA
OB=OC²/OA=4
AB=OA+OB=1+4=5
BC=√(AB²-AC²)=2√5
∴圆心坐标为（OB/2，OC/2) 即 （2，1），半径=BC/2=√5
圆方程为（x-2）²+（y-1）²=5
过原点O做垂线垂直BC,交园于另一点D1,连接D1C、D1B，
∠D1CB=∠D1OB(同弧上的圆周角）=∠BCO(与∠B同余）=∠A (与∠B同余）
直线AC的斜率为OC/OA=2/1=2
则 直线OD1的方程为：y=2x
代入圆方程：
(x-2)²+（2x-1）²=5
解得：x=0，y=0 即原点，或 x=8/5，y=16/5 即 D1(8/5,16/5)
过原点做BC的平行线交园于另一点D2, 连接D2C、D2B、OD2
∠BCD2=∠OD2C(内错角）=∠OBC(同弧上的圆周角）=∠OCA (与∠A同余）
∴△BCD2∽△AOC
OD2的斜率=BC的斜率=-OC/OB=-2/4=-1/2
直线OD2的方程为： y=-x/2
代入圆方程：
（x-2)²+（-x/2-1)²=5
解得：
x=0，y=0， 或 x=12/5，y=-6/5 即 D2(12/5，-6/5)
过点B（4,0) 做OC的平行线，交圆另一点D3, 连接D3C
∠CBD3=∠BCO(内错角）=∠A (与∠B同余）
∴△BCD3≌△BCO, BD3=OC=2，△BCD3∽△AOC
D3横坐标为4，纵坐标=OC=2 即 D3(4，2)
综上 不算原点(0,0) 另共有3个点D1(8/5,16/5)、D2(12/5，-6/5)、D3(4，2)
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