作业帮两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 05:10:43
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和y轴,只要是椭圆,对称中心为原点),这是找规律,看成不成立
两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形最小面积两条过原点的垂直直线交于椭圆四个点所形成的四边形,是不是都在两直线斜率为1和-1的时候面积最小?(椭圆不分的焦点在x轴和
直线y=kx与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点A,C,
把①代入②,b^2x^2+a^2k^2x^2=a^2b^2,x^2=a^2b^2/(b^2+a^2k^2),
x=土ab/√(b^2+a^2k^2),
∴|AC|=2ab√[(1+k^2)/(b^2+a^2k^2),
同理,直线y=-x/k与椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)交于点B,D,
|BD|=2ab√[(1+1/k^2)/(b^2+a^2/k^2)=2ab√[(k^2+1)/(b^2k^2+a^2)],
∴S(ABCD)=4a^2b^2(k^2+1)/√[(b^2+a^2k^2)(b^2k^2+a^2)]
设u=k^2,f(u)=(u+1)/√[(b^2+a^2u)(b^2u+a^2)]=(u+1)/√[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2],u>=0,
由f'(u)=[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-1/2)-(1/2)(u+1)[a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2]^(-3/2)*(2a^2b^2u+a^4+b^4)=0,得
a^b^2u^2+(a^4+b^4)u+a^2b^2=（1/2）(u+1)(2a^2b^2u+a^4+b^4),
∴(a^4+b^4-2a^2b^2)u=a^4+b^4-2a^2b^2,
∴u=1,即f(u)的最小值=f（1）.这时k^2=1,k=土1,您的看法正确.