高二立体几何预习三棱锥s-ABC中 底面ABC是边长为2的等边三角形 SA垂直于面ABC SA=3 那么SA与面SBC所成的角的正弦值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 19:11:17
高二立体几何预习三棱锥s-ABC中  底面ABC是边长为2的等边三角形    SA垂直于面ABC   SA=3   那么SA与面SBC所成的角的正弦值

高二立体几何预习三棱锥s-ABC中 底面ABC是边长为2的等边三角形 SA垂直于面ABC SA=3 那么SA与面SBC所成的角的正弦值
高二立体几何预习

三棱锥s-ABC中  底面ABC是边长为2的等边三角形    SA垂直于面ABC   SA=3   那么SA与面SBC所成的角的正弦值

高二立体几何预习三棱锥s-ABC中 底面ABC是边长为2的等边三角形 SA垂直于面ABC SA=3 那么SA与面SBC所成的角的正弦值
作BC中点D,连结AD,SD,过点A作AE⊥SD,垂足为E,连结BE
因为AB=AC=BC=2,所以AD⊥BC且AD=√3/2 *AB=√3
又SA⊥底面ABC,则斜线SD在底面ABC内的射影为AD
所以由三垂线定理得SD⊥BC
又AD⊥BC,则BC⊥平面SAD
因为AE在平面SAD内,所以BC⊥AE
又AE⊥SD,所以AE⊥平面SBC
则AB在平面SBC内的射影为BE
即∠ABE就是AB与面SBC的所成角
在Rt△SAD中,SA=3,AD=√3,则由勾股定理得SD=√(9+3)=2√3
又面积S△SAD=1/2 *SA*AD=1/2 *AE*SD
则AE=SA*AD/SD=3*√3/(2√3)=3/2
所以在Rt△ABE,sin∠ABE=AE/AB=(3/2)/2=3/4
即AB与面SBC所成角的正弦值为3/4

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