平行四边形两条对角线的平方和=?

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 01:14:33
平行四边形两条对角线的平方和=?

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平行四边形两条对角线的平方和=?

平行四边形两条对角线的平方和=?

平行四边形的对角线的平方和,等于平行四边形的四条边的平方和

作AE⊥BC于点E,作DF⊥BC,交BC的延长线于点F

设AB=a,AD=b,BE=x,AE=y

易证△ABE≌△DCF

∴CF=BE=x

∴AC²=(b-x)²+y²,BD²=(b+x)²+y²

∴AC²+BD²=2b²+2x²+2y²=2b²+2(x²+y²)=2b²+2a²

即：平行四边形的对角线的平方和,等于平行四边形的四条边的平方和

平行四边形两条对角线平方和等于四边平方的和。
可用余弦定理证明 ：设平行四边形ABCD，四边边长分别为a，a，b，b
AC^2=a^2+b^2-2abcosB
BD^2=a^2+b^2-2abcos(180°-B)=a^2+b^2+2abcosB
两式相加，
AC^2+BD^2=a^2+b^2+a^2+b^2，得证。

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