求Sinx的倒数.步骤详细点谢谢导数

求Sinx的倒数.步骤详细点谢谢导数
求Sinx的倒数.步骤详细点谢谢
导数

求Sinx的倒数.步骤详细点谢谢导数
用定义
(sinx)'=lim[sin(x+△x)-sinx]/(△x),
其中△x→0,将sin(x+△x)-sinx展开,就是sinxcos△x+cosxsin△x-sinx,
由于△x→0,故cos△x→1,
从而sinxcos△x+cosxsin△x-sinx→cosxsin△x,
于是(sinx)’=lim(cosxsin△x)/△x,这里必须用到一个重要的极限,
当△x→0时候,lim(sin△x)/△x=1,
于是(sinx)’=cosx

(sinx)'=lim(t->0) [sin(x+t)-sinx]/t
=lim(t->0) [2cos(x+t/2)sin(t/2)]/t 和差化积
=lim(t->0) cos(x+t/2) * lim(t->0) sin(t/2)/(t/2) 重要极限
=cosx * 1
=cosx

正弦函数 sin(x)的导数(导函数)是余弦 cos(x)，推算过程：　前提是两个东西要先记住:
　　sin A - sin B = 2 *(cos （A + B）/2) * (sin （A - B）/2)
　　以及
　　lim q -> 0 (sin（q）)/q = 1
　　先要证明
　　lim (sin θ)/θ = 1
　　θ→0
　　...

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正弦函数 sin(x)的导数(导函数)是余弦 cos(x)，推算过程：　前提是两个东西要先记住:
　　sin A - sin B = 2 *(cos （A + B）/2) * (sin （A - B）/2)
　　以及
　　lim q -> 0 (sin（q）)/q = 1
　　先要证明
　　lim (sin θ)/θ = 1
　　θ→0
　　然后
　　sinθ-sinφ=2cos(θ/2+φ/2)sin(θ/2-φ/2) （三角函数和差化积公式）
　　y = f(x) = sin(x)
　　dy/dx
　　=lim[f(x+Δx)-f(x)]/Δx
　　Δx→0
　　=lim[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx
　　Δx→0
　　=lim{2cos[(2x+Δx)/2]sin[(x+Δx-x)/2]}/Δx
　　Δx→0
　　=lim2[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/Δx
　　Δx→0
　　=lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2]/(Δx/2)
　　Δx→0
　　=cosx × 1
　　=cosx
　　求sin x与cos x的 n 阶导数：
　　(sinx)'=cosx
　　(sinx)''=(cosx)'=-sinx=sin(x+pi/2)
　　(sinx)'''=(-cosx)'=sinx=sin(x+3pi/2)
　　(sinx)^(4)=(sinx)'=cosx=sin(x+4pi/2)
　　…………………………经过归纳得到
　　(sinx)^(n)=…………………=sin(x+npi/2)
　　定义余弦函数也是同样的。
为什么sin(x)的导数=cos(x)
　　根据导数定义
　　(sinx)'=lim<△x→0>[sin(x+△x)-sinx]/△x
　　sin(x+△x)-sinx=2cos(x+△x/2)sin(△x/2)
　　注意△x→0时, [sin(△x/2)]/(△x/2)→1
　　所以(sinx)'=lim<△x→0>[2cos(x+△x/2)sin(△x/2)]/△x
　　=lim<△x→0>[cos(x+△x/2)][sin(△x/2)]/(△x/2)
　　=cosx
　　证明完毕. 按照三角函数公式和导数的定义就可以证明 lim(Δy/Δx) Δx->0 =lim{[sin(x+Δx)-sin(x)]/Δx} Δx->0 =lim[2cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx] Δx->0 =lim[cos(x+Δx/2)sin(Δx/2)/Δx/2] Δx->0 由cos(x)的连续性，有limcos(x+Δx/2) = cos(x) Δx->0 以及lim[sin(Δx/2)/Δx/2] = 1 Δx->0 故得 lim(Δy/Δx) Δx->0 =limcos(x+Δx/2)*lim[sin(Δx/2)/Δx/2] Δx->0 Δx->0 =cos(x)*1 =cos(x)

收起

lim([⊿x→0)sin(x+⊿x)-sinx]/⊿x
=lim([⊿x→0)(sinxcos⊿x+cosxsin⊿x-sinx)/⊿x
=lim([⊿x→0)[sinx(cos⊿x-1)+cosxsin⊿x]/⊿x
=lim([⊿x→0)cosx(sin⊿x/⊿x)=cosx