若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 18:02:27

若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,
若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,

若正数a、b满足ab=a+b+1,求a+b和ab的取值范围,
这里提供3种做法.
一、基本不等式的做法：
ab=a+b+1≥2√ab+1=>（√ab）^2-2√ab-1≥0
结合a,b＞0解得：ab≥3+2√2
a+b+1=ab≤[(a+b)/2]^2=>(a+b)^2-4(a+b)-4≥0
结合a,b＞0解得：a+b≥2+2√2
二、韦达定理的做法：
记ab=k＞0,则a+b=k-1＞0（即k＞1）
所以a、b分别为x^2-(k-1)x+k=0的两根
结合f（x）=x^2-(k-1)x+k的图像——f（0）=k＞0,对称轴x=（k-1）/2＞0,开口向上
要使f（x）=0有a、b两根,需使判别式△≥0=>k≥3+2√2=>k-1≥2+2√2
∴ab≥3+2√2,a+b≥2+2√2
三、函数的做法：
先用a来表示b：b=1+2/（a-1）,由b＞0得到a＞1
记f（a）=ab=a+2a/（a-1）=a+2/（a-1）+2（分离变量）
设t=a-1,则t＞0,∴f（a）=t+2/t+3
显然f（a）表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴f（a）∈[3+2√2,+∞],即ab≥3+2√2
同样,记g（a）=a+b=a+2/（a-1）+1
设t=a-1,则t＞0,∴g（a）=t+2/t+2
显然g（a）表示成了t的双钩函数且函数图象取右上那一支
∴g（a）∈[2+2√2,+∞],即a+b≥2+2√2
不懂可继续追问...

ABABAB家上ABC

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