作业帮2的n+2次幂乘以3的n次幂+5n-4能被25整除
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 10:15:59
2的n+2次幂乘以3的n次幂+5n-4能被25整除
2的n+2次幂乘以3的n次幂+5n-4能被25整除
2的n+2次幂乘以3的n次幂+5n-4能被25整除
2^(n+2) * 3^n + 5n - 4
= 4 * 6^n + 5n - 4
用数学归纳法：
n=1时
=4*6+5-4=25,成立
假设n=k时成立
n=k+1时
4 * 6^(k+1) + 5(k+1) - 4
=6 * 4 * 6^k + 5k + 1
=6 * (4 * 6^k + 5k -4) - 25k + 25
由假设,(4 * 6^k + 5k -4)能被25整除,而 - 25k + 25能被25\整除
所以n=k+1时也成立
证完
楼上你怎么可能这么快?还写这么多字?
方法I：单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}＋5n =4(6^n-1)＋5n
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧...
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方法I：单刀直入 [2^(n+2)]×(3^n)+5n-4 ={[2^(n+2)]×(3^n)-4}+5n ={4×2^n)×(3^n)-4}＋5n =4(6^n-1)＋5n
二项式定理
（a+b）^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1)b^1+...+Cn(n-1)a^1b^(n-1)+Cnna^0b^n Cn0表示从n个物体选0个物体的组合方法数，排列组合你应该学过吧，那对C就比较了解。 Cnm=n!/m!(n-m)!
然后用同余法
4*6^n=4*(5+1)^n+5n=4*(Cn05^n*1^0+Cn15^(n-1)*1^1+...+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)+Cnn5^0*1^n )，5^2项以上都可以被25整除，然后处理剩余项目，4[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4而Cnn=1,Cn(n-1)=n,代入[Cnn5^0*1^n+Cn(n-1)5^1*1^(n-1)]+5n-4=5n+4*5*n=25n也能被25整除，两部分都能被25整除，所以2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
方法II：数学归纳
1.当n=1时 2^（n+2）*3^n+5n-4=25,能被25整除
2.当n=k时 假定2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除
3.当n=k+1时 2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4=6*[2^（k+2）*3^k+5k-4]-25k+25,其中2^（k+2）*3^k+5k-4能被25整除，-25k+25能被25整除，所以2^(k+3)*3^(k+1)+5(k+1)-4能被25整除
综上所述，2^（n+2）*3^n+5n-4能被25整除
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