∫x*arcsinx 求不定积分

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 02:36:42

∫x*arcsinx 求不定积分
∫x*arcsinx 求不定积分

∫x*arcsinx 求不定积分
∫ xarcsinx dx
= ∫ arcsinx d(x²/2)
= (x²/2)(arcsinx) - (1/2)∫ x²*(arcsinx)' dx
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ x²/√(1-x²) dx
令x=siny,dx=cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/2)∫ sin²y/cosy * cosydy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)∫ (1-cos2y) dy
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)(y-1/2*sin2y) + C
= (x²arcsinx)/2 - (1/4)arcsinx - (x/4)√(1-x²) + C

另x=sin(t)
x*arcsin(x)dx=sin(t)*t*cos(t)dt=1/8*sin(2t)*2td2t
然后对变量2t用分部积分法，就得到：
1/8(-2t*cos(2t)-∫(-cos(2t))d2t)=1/8(-2t*cos(2t)+sin(2t))
然后把x=sin(t)带入用x表达即可

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