数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 02:57:13

数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A
数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A

数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A
lim(n->∞) an =a ,求证：lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
证明：
① 对任意 ε>0 ,
∵ lim(n->∞) an =a
对 ε/2 >0 ,存在 N1,当n>N1时,|an-a| max{ M ,N1} 时:
|(a1+a2+..+an)/n - a|
≤ (|a1-a|+|a2-a|+...+|aN1-a|)/n +(|a(N1+1)-a|+...+|an-a|)/n
≤ ε/2 +(n-N1)*ε/2/n ≤ ε/2+ε/2 = ε
② 故存在 N = max{ [M] ,N1} ∈Z+
③ 当 n>N 时,
④ 恒有：|(a1+a2+..+an)/n - a| < ε 成立.
∴ lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n=a
{本题最简洁的方法是直接套 O'Stoltz 定理即可}
逆命题不成立,如反例 :
an = (-1)^n
lim(n->∞) (a1+a2+..+an)/n = 0 ,但:
an = (-1)^n 发散.

数列{an}的极限为A,证明(a1+a2+...+an)/n的极限=A 若an极限为a,证明a1+a2+a3+.+an/n的极限也为a(用极限的定义证明）数列极限题证明,若lim an=a,则lim （a1+a2+a3...+an)/n=a 已知数列an 为等比数列,a1+a2+.+an的极限=4 则a1的取值范围是? 证明：记a1+a2+a3+.+an=Sn,数列{an}有极限是数列{Sn}有极限的必要不充分条件数列a1+a2+a3+.+an-1+an的极限存在,能推出an的极限是零吗? 若{an}的极限是a,证明:{（a1+a2+……+an）/n}的极限也是a. 已知a1=2,a2=2+(1/a1),.a(n+1)=2+(1/an)证明数列{an}收敛,求其极限已知数列{log2(an-1)},(n∈N* )为等差数列,且a1=3,a3=9(1)求数列{an}的通项公式 .(2)证明（1/a2-a1）+(1/a3-a2)+.+[1/a(n+1)-an] 已知(a1+a2+.an)/n的极限为A且,n(an-an-1)的极限为0,求证an的极限为A 数列｛log2（An-1)(n为正整数）为等差数列,a1=3,a3=9,求｛An}的通项公式10证明1/（a2-a1)+1/(a3-a2)+……1/[A(n+1)-An} 数列极限证明：设lim(n->∞)an=a,求证lime(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a 数列极限证明：设lim(n->∞)an=a,求证lim(n->∞) (a1*a2……an)^(1/n)=a 已知数列｛an｝满足a1,a2-a1,a3 -a2,…an-an-1,…是首相为1,公比为三分之一的等比数列 1.求数列｛an｝的已知数列｛an｝满足a1,a2-a1,a3-a2,…an-an-1,…是首相为1,公比为三分之一的等比数列1.求数列｛a 已知数列an满足a1,a2-a1,a3-a2,.an-a(n-1),是首项为1,公比为a的等比数列.求an. 当n趋近无穷大时,数列an极限为a,证明an绝对值的极限为a的绝对值~RT 已知数列｛log2(An-1)}n属于N*为等差数列,且a1=3,a3=9,①求数列｛An}的通向公式；（2）证明1/a2-a1+1/a3-a2.+.+1/an+1-an 数列{log2(an-1)}(n属于N#)为等差数列,且a1=3,a3=9(1) 求数列{an}的通项公式(2) #证明 1／a2-a1 +1／a3-a2 +…+1／an+1-an