作业帮请问如何证明根号5,根号3是无理数?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 19:20:53
请问如何证明根号5,根号3是无理数?
请问如何证明根号5,根号3是无理数?
请问如何证明根号5,根号3是无理数?
反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3,因为不好打）,即a为有理数,
那么存在正整数p和q（p,q无公因子,或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质),两边平方,得到
p^2=3*q^2,
接下来分析,（具体过程可以有多种,但是都是从公因子3入手,引出矛盾）
因为等号右边有因子3,且3为质数,因此p一定是3的倍数,设p=3r,代入等式并约分得到,
3*r^2=q^2
同理,q也一定是3的倍数,于是p、q均为3的倍数,与p、q互质矛盾.
故有反证法的原理,知a为无理数
假设 根号5是有理数,
设 根号5=p/q,
其中,p,q是正的自然数且互质.
则由p^2=5q^2知
p^2可以被5整除,所以p也能被5 整除（反证法可以证得：如果p不能被5整除,则p^2也不能被5整除,得证）
设p=5*n(n是正的自然数)
则5q^2=p^2=25n^2
这样 q^2也能被5整除,q也能被5整除
因此p与q有公因子5.
这与p,q互质相矛盾
从而 证明了根号5为无理数.
反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分...
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反证法：
假设结论不成立（接下来用a表示根号3，因为不好打），即a为有理数，
那么存在正整数p和q（p,q无公因子，或称互质）,使得a=p/q(有理数的性质)，两边平方，得到
p^2=3*q^2,
接下来分析，（具体过程可以有多种，但是都是从公因子3入手，引出矛盾）
因为等号右边有因子3，且3为质数，因此p一定是3的倍数，设p=3r,代入等式并约分得到，
3*r^2=q^2
同理，q也一定是3的倍数，于是p、q均为3的倍数，与p、q互质矛盾。
故有反证法的原理，知a为无理数
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