已知ab都是正数,且a^2+1/4b^2=1,求y=a根号(1+b^2)最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/03 17:15:01
已知ab都是正数,且a^2+1/4b^2=1,求y=a根号(1+b^2)最大值

已知ab都是正数,且a^2+1/4b^2=1,求y=a根号(1+b^2)最大值
已知ab都是正数,且a^2+1/4b^2=1,求y=a根号(1+b^2)最大值

已知ab都是正数,且a^2+1/4b^2=1,求y=a根号(1+b^2)最大值
法一:∵a^2+1/4b^2=1∴a^2=1-1/4b^2,
y=a√(1+b^2)=√[a^2(1+b^2)]
=√[(1-1/4b^2)*(1+b^2)]
=√[-1/4b^4+3/4b^2+1]
=√[-1/4*(b^2-3/2)^2+25/16]
∴当b^2=3/2时,a^2=5/8即b=√6/4,a=√10/4,y取最大值,
ymax=5/4
法二:也可三角换元,令a=cosθ,b=2sinθ,
法三:也可均值定理解y=√a^2*√(b^+1)
=2*√a^2*√(b^/4+1/4)
≤a^2+b^2/4+1/4=5/4
当且仅当a^=b^/4+1/4时成立,即b=√6/4,a=√10/4,y取最大值,ymax=5/4
另外还可图像法,你自己试试
重在一题多解,开拓思路.

y=a√1+b^2=√a^2(1+b^2
)=2√a^2(1/4+b^2/4)<=a^2+1/4+b^2/4=1+1/4=5/4
当a^2=(1/4+b^2/4)时取=