作业帮正定矩阵为什么是对称矩阵?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 16:14:51
正定矩阵为什么是对称矩阵?
正定矩阵为什么是对称矩阵?
正定矩阵为什么是对称矩阵?
电灯学的比较深,太专业了,反而把简单的搞复杂了!
线性代数范围内,正定矩阵的前提就是对称的
因为正定矩阵的定义来源于正定二次型,而二次型的矩阵是对称矩阵
正定矩阵不一定是实对称阵或Hermite阵，完全可以非对称。
一般教材上只讨论对称正定阵，一方面对于二次型而言研究对称阵比较方便而且足够用了，另一方面非对称的正定阵毕竟特征值要复杂很多，不如对称正定阵的性质好，所以普通教材上就不讲了。但我在多本教科书上看到正定矩阵必须是对称矩阵啊！写教材当然是要讲究目的的，大多数情况下作者并不想让初学者纠结于困难的问题而抓不住重点，所以不讨论复杂的东西。推...
全部展开
正定矩阵不一定是实对称阵或Hermite阵，完全可以非对称。
一般教材上只讨论对称正定阵，一方面对于二次型而言研究对称阵比较方便而且足够用了，另一方面非对称的正定阵毕竟特征值要复杂很多，不如对称正定阵的性质好，所以普通教材上就不讲了。
收起
首先你x*Mx要跟0比较，所以x*Mx必须是实数(x∈C是复数域上的向量，所以用x*Mx，而不是x'Mx）。任何矩阵都可以写成H+iK的形式（H、K是Hermite矩阵），假设M=H+iK，x*Mx=x*(H+iK）x=x*Hx+ix*Kx （1），Hermite矩阵的特征值都是实数，Hermite矩阵的二次型也是实数（自己证吧，很简单）。（1）要是实数，所以x*Kx=0，K=0.所以M=H也是H...
全部展开
首先你x*Mx要跟0比较，所以x*Mx必须是实数(x∈C是复数域上的向量，所以用x*Mx，而不是x'Mx）。任何矩阵都可以写成H+iK的形式（H、K是Hermite矩阵），假设M=H+iK，x*Mx=x*(H+iK）x=x*Hx+ix*Kx （1），Hermite矩阵的特征值都是实数，Hermite矩阵的二次型也是实数（自己证吧，很简单）。（1）要是实数，所以x*Kx=0，K=0.所以M=H也是Hermite矩阵。所以说在复数域上正定矩阵必然是Hermite矩阵(A=A*，A*就是A的共轭转置）。
至于楼上说M= 1 1 ，那你把复向量x=（i，1）带到x*Mx里面去试试看看等于多少，答案是一个复
-1 1
数，就不能跟0比较了呗，正定也就无从谈起。
所以说，复数域上的正定矩阵一定是Hermite矩阵。有疑问的可以问我，大家共同探讨。
收起