幂级数展开习题求解已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/14 02:55:08

幂级数展开习题求解已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n
幂级数展开习题求解
已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证
f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立
Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n阶导数在a点的值
这道题我想估计f(a)的范围,但是没有思路……求大神指点,好的回答会加分啊
注：但最好能提供一个解题的思路,我更看重的是思考问题的方法!

幂级数展开习题求解已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n
注意到f(x)=f(a)+∫[a,x]f'(t)dt
=f(a)+∫[a,x]f'(t)d(t-x),利用分部积分
=f(a)+(x-a)f'(a)+∫[a,x](x-t)f''(t)dt,如此反复利用分部积分
可得f(x)= Sigma(0,n, f(a) * (x - a)^n / n! )+(∫[a,x]f(t)*(x-t)^ndt)/n!
然后考虑对积分余项R(n,x)=(∫[a,x]f(t)*(x-t)^ndt)/n! 作估计
作变换t=(a-x)s+x,可得
即R(n,x)=(∫[0,1]f((a-x)s+x)*(x-a)^(n+1)*s^nds)/n!
=>R(n,x)/(x-a)^(n+1)=(∫[0,1]f((a-x)s+x)*s^nds)/n!
因为f(x)各阶导数都非负,而(a-x)s+x≤(a-b)s+b,x∈[a,b],s∈[0,1]
所以R(n,x)/(x-a)^(n+1)≤R(n,b)/(b-a)^(n+1)
即R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*R(n,b)
而R(n,b)=f(b)- Sigma(0,n, f(a) * (b - a)^n / n! )≤f(b)
所以R(n,x)≤[(x-a)/(b-a)]^n*f(b),即对任意x∈[a,b),均有
R(n,x)->0,n->∞,即f(x)=Sigma(0,+INF,f(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b)成立
最后说明x=b时上式也成立.设上式右边幂级数的收敛半径为r>0,
则显然b-a小于等于r,若b-ab-,则显然和f(x)在[a,b]连续矛盾.
综上知f(x)=Sigma(0,+INF,f(a)*(x-a)^n/n!)对任意x属于[a,b]成立

幂级数展开习题求解已知f(x)是[a,b]上的函数,其各阶导函数存在且大于等于0,求证f(x) = Sigma(0,+INF,f(a) * (x - a) & n / )对任意x属于[a,b]成立Sigma()是求和函数,第三个参数是求和的内容.其中f(a)是f的n f(x)=xe^(x^2)展开成幂级数是? 高数题求解,将函数f(x)=1/(1+3x)展开成x的幂级数求解幂级数习题若幂级数∑An乘以x的n次方和∑Bn乘以x的n次方的收敛半径是1和更号下5则幂级数∑（An+Bn）乘以x的n次方的收敛半径是?A.1 B.更号下5 C.1+更号下5 D.更号下5 -1 f(x)=e的x/a次方如何展开为x-a的幂级数函数f(x)=x^2/2-x展开成x的幂级数是将f(x)=ln（a+x）展开成x幂级数 f(x)=ln(a+x)展开成x的幂级数,并求其成立的区间将函数f(X)=a^x展开成x的幂级数函数展开为x的幂级数f(x)=d((e^x-1)/x)/dx 怎么展开成幂级数,具体过程是怎么样的? 求解展开成x的幂级数将ln（x+spr(x^2+1)展开成x的幂级数 F(X)=SIN X+COS X展开的幂级数展开幂级数f(x)=x/1+x-2x^2展成X的幂级数将函数展开为幂级数将函数f(x)=1/(x²+x-2)展开成X的幂级数高数将函数展开为幂级数将函数f(x)=1/x^2 展开为(x-1)幂级数. 将函数f(X)=ln(a+x）展开成x的幂级数跪求`````急用 a的x次方展开成x的幂级数用直接展开法将f(x)=a^x展开成x的幂级数求详细的过程,本人数学很差!