设首项为正数的等比数列他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/15 10:12:23

设首项为正数的等比数列他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项
设首项为正数的等比数列他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项

设首项为正数的等比数列他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项
(1-q^N)a[1]/(1-q) = 80 -------(1)
(1-q^(2N))a[1]/(1-q) = 6560
所以 q^N =1 (不可能,因为不可能有最大项54使(1)成立)
或q^N =81
由(1)式我们知道,q必定是正数.所以最后一项最大,且为54.
54=a[N] =a[1]q^N/q =81a[1]/q
所以,通项公式为 a[n]= a[1]q^n/q =q^n*54/81

全部展开

∵首项为正数的等比数列,前N项和为80,且其中数值最大的项是54,前2N项和为6560
∴由S[2N]>2S[N],知公比q>1,前N项中最大项就是a[N]
∴a[N]=54
a[1](1-q^N)/(1-q)=80
a[1](1-q^2N)/(1-q)=6560
∴q^N=1(与q>1矛盾，也不符合上面两式，舍去) 或者 q^N=81
∵a[N]=a[1]q^N/q=a[1]81/q=54
∴a[1]=2q/3
∵a[1](1-81)/(1-q)=80
∴a[1]=q-1 【也可由：a[1](1-81^2)/(1-q)=6560 得】
∴a[1]=2,q=3,N=4
∴该数列的通项是：a[m]=2*3^(m-1)

收起

由题意可得：a1>0, q>1,
a1*q^(n-1)=54
(a1-a1*q^n)/(1-q)=80
(a1-a1*q^2n)/(1-q)=6560
二者相除:80/6560=1/[1+q^n] ==>q^n=81
把q^n带入
解得：
a1=2；q=3；n=4

设首项为正数的等比数列 他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项

设首项为正数的等比数列他的前N项和为80 且其中数值最大的项是54 前2N项和为6560 求数列的通项