作业帮设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn①求证：1/（bn+1）=（1/bn）-(1/b（n+1）)；若Tn=1/(b1+1)+1/（b2+1）+…+1/((bn)+1),对任意的正整数n,3Tn-log(2)(m)-5>0恒成立,求m的取值范围.第一题用倒数我已经知道了,恩,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/14 03:46:45
设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn①求证：1/（bn+1）=（1/bn）-(1/b（n+1）)；若Tn=1/(b1+1)+1/（b2+1）+…+1/((bn)+1),对任意的正整数n,3Tn-log(2)(m)-5>0恒成立,求m的取值范围.第一题用倒数我已经知道了,恩,
设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn
①求证：1/（bn+1）=（1/bn）-(1/b（n+1）)；若Tn=1/(b1+1)+1/（b2+1）+…+1/((bn)+1),对任意的正整数n,3Tn-log(2)(m)-5>0恒成立,求m的取值范围.
第一题用倒数我已经知道了,恩,主要是第二小问.
设数列{bn}满足b1=1/2,b(n+1)=(bn)^2+bn①求证：1/（bn+1）=（1/bn）-(1/b（n+1）)；若Tn=1/(b1+1)+1/（b2+1）+…+1/((bn)+1),对任意的正整数n,3Tn-log(2)(m)-5>0恒成立,求m的取值范围.第一题用倒数我已经知道了,恩,
1.
b(n+1)=bn²+bn=bn(bn +1)
1/b(n+1)=1/[bn(bn +1)]=1/bn -1/(bn +1)
2.
对数有意义,m>0
b2=b1²+b1=(1/2)²+1/2=3/4
n=1时,b1=1/2>0,假设当n=k时,bk>0,则当n=k+1时,b(k+1)=bk²+bk>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,bn恒>0,即数列各项均为正.
n=1时,b1 +1=1/2+1=3/2>1
假设当n=k时,bk+1>1,则当n=k+1时,
b(k+1)=bk(bk+1)>bk ×1=bk
1/bk -1/b(k+1)>0
k为任意正整数,因此对于任意正整数n,不等式恒成立,即数列{1/bn}单调递减
/以上为判断数列{1/bn}的单调性,为下面的过程做准备.
Tn=1/(b1+1)+1/(b2+1)+...+1/(bn+1)
=1/b1-1/b2+1/b2-1/b3+...+1/bn-1/b(n+1)
=1/b1 -1/b(n+1)
=1/(1/2)- 1/b(n+1)
=2- 1/b(n+1)
数列{1/bn}单调递减,随n增大,1/b(n+1)单调递减,2- 1/b(n+1)单调递增,当n=1时,2- 1/b2取得最小值,Tn取得最小值.此时,(Tn)min=2- 1/b2=2-1/(3/4)=2-4/3=2/3
3Tn-log2(m)-5>0
3Tn>log2(m)+5
要不等式对于任意正整数,不等式恒成立,只需要当Tn取最小值时,不等式成立.
log2(m)