作业帮已知a>b>0,求证：（a-b)^2/8a < (a+b)/2 -√ab < (a-b)^2/8b
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 02:51:30
已知a>b>0,求证：（a-b)^2/8a < (a+b)/2 -√ab < (a-b)^2/8b
已知a>b>0,求证：（a-b)^2/8a < (a+b)/2 -√ab < (a-b)^2/8b
已知a>b>0,求证：（a-b)^2/8a < (a+b)/2 -√ab < (a-b)^2/8b
(a-b)²/8a -[(a+b)/2 -√ab]
=(√a +√b)²(√a -√b)²/8a -4a(√a -√b)²/8a
=(√a -√b)²[(√a +√b)²-4a]/8a .(1)
∵a>b>0,
∴√a +√b (√a +√b)²[(√a +√b)²-4a](1)(a-b)²/8a
∵a>b>0
∴a-b=(√a+√b)(√a-√b)>(√b+√b)(√a-√b)=2√b(√a-√b)
两边平方(a-b)2>4b[a+b-2√(ab)]
两边除以8b得
(a-b)^2/8b>(1/2)*[a+b-2√(ab)]
∴(a-b)^2/8b>(a+b)/2-√(ab)
∵a>b>0
∴a-b=(√a+√b)(√a-√b)<(...
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∵a>b>0
∴a-b=(√a+√b)(√a-√b)>(√b+√b)(√a-√b)=2√b(√a-√b)
两边平方(a-b)2>4b[a+b-2√(ab)]
两边除以8b得
(a-b)^2/8b>(1/2)*[a+b-2√(ab)]
∴(a-b)^2/8b>(a+b)/2-√(ab)
∵a>b>0
∴a-b=(√a+√b)(√a-√b)<(√a+√a)(√a-√b)=2√a(√a-√b)
两边平方(a-b)2<4a[a+b-2√(ab)]
两边除以8a得
(a-b)^2/8a<(1/2)*[a+b-2√(ab)]
∴(a-b)^2/8a<(a+b)/2-√(ab)
得证
希望能帮到你，祝学习进步O(∩_∩)O
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注意到0＜2√b(√a-√b)＜a-b=(√a+√b)(√a-√b)＜2√a(√a-√b)，两边平方得4b(√a-√b)²=4b[a+b-2√(ab)]＜(a-b)²＜4a(√a-√b)²=4a[a+b-2√(ab)]
∴(a-b)²/(8a)＜[a+b-2√(ab)]/2=(a+b)/2 -√(ab)
(a-b)²/(8b)＞[...
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注意到0＜2√b(√a-√b)＜a-b=(√a+√b)(√a-√b)＜2√a(√a-√b)，两边平方得4b(√a-√b)²=4b[a+b-2√(ab)]＜(a-b)²＜4a(√a-√b)²=4a[a+b-2√(ab)]
∴(a-b)²/(8a)＜[a+b-2√(ab)]/2=(a+b)/2 -√(ab)
(a-b)²/(8b)＞[a+b-2√(ab)]/2=(a+b)/2 -√(ab)
即(a-b)²/(8a)＜(a+b)/2 -√(ab)＜(a-b)²/(8b)
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