高二数学直线与平面的平行判定已知空间四边形ABCD,P、Q分别是三角形ABC和三角形BCD的重心,求证：PQ平行平面ACD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/10 05:07:52

高二数学直线与平面的平行判定已知空间四边形ABCD,P、Q分别是三角形ABC和三角形BCD的重心,求证：PQ平行平面ACD
高二数学直线与平面的平行判定
已知空间四边形ABCD,P、Q分别是三角形ABC和三角形BCD的重心,求证：PQ平行平面ACD

高二数学直线与平面的平行判定已知空间四边形ABCD,P、Q分别是三角形ABC和三角形BCD的重心,求证：PQ平行平面ACD

连结DQ,交延长交BC于E,连结AE,
∵Q是△DBC的重心,
∴DE是BC边上的中线,
E是BC的中点,
∵AE是△ABC中BC边上的中线,
P是△ABC的重心,
∴P必在AE上,
∴A、P、E三点共线,
∵根据重心的性质,
QE=GE/3,
PE=AE/3,
∴PE/AE=QE/GE=1/3,
在△AED中,
根据平行比例线段定理,
PQ//AD,
∵AD∈平面ACD,
∴PQ//平面ACD,（若平面外一条已知直线和平面内一条直线平行,则该直线和平面平行）.

取BC的中点为E。
∵P是△ABC的重心，∴A、P、E共线且PE/PA＝1/2。······①
∵Q是△BCD的重心，∴D、Q、E共线且QE/DQ＝1/2。······②
由①、②，得：PE/PA＝QE/DQ，∴PQ∥AD，∴PQ∥平面ACD。

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