作业帮已知椭圆x^2/2+y^2=1,M为上顶点,点F为右焦点,是否存在直线l交椭圆于A,B两点,使点F为三角形ABM垂心,若存在,求出l方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 15:30:04
已知椭圆x^2/2+y^2=1,M为上顶点,点F为右焦点,是否存在直线l交椭圆于A,B两点,使点F为三角形ABM垂心,若存在,求出l方程
已知椭圆x^2/2+y^2=1,M为上顶点,点F为右焦点,是否存在直线l交椭圆于A,B两点,使点F为三角形ABM垂心,若存在,求出l方程
已知椭圆x^2/2+y^2=1,M为上顶点,点F为右焦点,是否存在直线l交椭圆于A,B两点,使点F为三角形ABM垂心,若存在,求出l方程
由题意可知M(0,1),F(1,0),MF的方程：x+y-1=0,设A(x1,y1)B(x2,y2)
∵点F为三角形ABM垂心
∴AB⊥MF,设直线l方程：y=x+b
AF⊥BM,(x1-1)x2+(x1+b)(x2+b-1)=0,化简得
2x1x2+(b-1)(x1+x2)+b(b-1)=0
y=x+b代入椭圆x^2/2+y^2=1得3x^2+4bx+2b^2-2=0
Δ=-8b^2+24=-8(b^2-3)>0,-√3
不会
从题目易知点M(0,1)、F(1,0),
设l：y=x+b，A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∵BF⊥MA，
∴向量BF·向量MA
(1-x2,-y2)(x1,y1-1)
=(1-x2)x1-y2(y1-1)
=x1+y2-x1x2-y1y2
=x1+x2+b-x1x2-(x1+b)(x2+b)
=(1-b)(x1+...
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从题目易知点M(0,1)、F(1,0),
设l：y=x+b，A(x1,y1)、B(x2,y2)，
∵BF⊥MA，
∴向量BF·向量MA
(1-x2,-y2)(x1,y1-1)
=(1-x2)x1-y2(y1-1)
=x1+y2-x1x2-y1y2
=x1+x2+b-x1x2-(x1+b)(x2+b)
=(1-b)(x1+x2)-2x1x2+b(1-b)
=0 ①
由{x2+2y2=2，y=x+b}
得3x2+4bx+2b2-2=0
依韦达定理，得
x1+x2=-4b/3，x1x2=(2b2-2)/3
代入①得，
(1-b)(-4b/3)-(4b2-4)/3+(b-b2)=0
b=1或b=-4/3.
当b=1时，直线l经过M点，不能构成三角形，舍去.
∴l为: y=x-(4/3)
即3x-3y-4=0。
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