作业帮高三数学复习题——数列、数学归纳法看看第二小问,有思路更好.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 06:33:54
高三数学复习题——数列、数学归纳法看看第二小问,有思路更好.
高三数学复习题——数列、数学归纳法
看看第二小问,有思路更好.
高三数学复习题——数列、数学归纳法看看第二小问,有思路更好.
先由(x+1)^n=[2+(x-1)]^n,得a2=C(2,n)•2^(n-2)=n(n-1)•2^(n-3),
所以bn=n(n-1),从而Tn=b2+b3+b4+…+bn=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)n,
最后,用数学归纳法证明：
①n=2时,T2=b2=1×2=2×(2+1)×(2-1)/3,命题成立.
②假设当n=k(k≥2,k∈N*)时,命题成立,即
Tk=b2+b3+b4+…+bk=1×2+2×3+3×4+…+(k-1)k=k×(k+1)×(k-1)/3,
则当n=k+1时,
T(k+1)=b2+b3+b4+…+bk+b(k+1)=1×2+2×3+3×4+…+(k-1)k+k(k+1)=k×(k+1)×(k-1)/3+k(k+1)
=k(k+1)(k+2)/3=(k+1)[(k+1)+1][(k+1)-1]/3,
由此知,当n=k+1时,命题也成立.
综上,知Tn=n×(n+1)×(n-1)/3对一切n≥2,n∈N*都成立.
思路：
(x+1)^n=[(x-1)+2]^n a(2)为展开项的系数,a(2)=1/2n(n-1)*2^(n-2).
所以 b(n)=a(2)/2^(n-3)=n(n-1)=n^2-n
有了b(n)的表达式,就带入就可以用归纳法得到答案.