作业帮直线与平面垂直的判定（急,）过三角形所在平面α外的一点P,作PO垂直于α,垂足为O,连接PA,PB,PC.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是三角形ABC的（ ）心.请详细点说明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/01 10:55:12
直线与平面垂直的判定（急,）过三角形所在平面α外的一点P,作PO垂直于α,垂足为O,连接PA,PB,PC.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是三角形ABC的（ ）心.请详细点说明.
直线与平面垂直的判定（急,）
过三角形所在平面α外的一点P,作PO垂直于α,垂足为O,连接PA,PB,PC.
若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是三角形ABC的（ ）心.请详细点说明.
直线与平面垂直的判定（急,）过三角形所在平面α外的一点P,作PO垂直于α,垂足为O,连接PA,PB,PC.若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,则点O是三角形ABC的（ ）心.请详细点说明.
垂心
PA垂直于PB PA垂直于PC 所以PA 垂直于面PBC
所以PA垂直于 BC
因为PO垂直于α,所以PO垂直于BC
所以BC垂直于面PAO
所以BC 垂直于直线AO
BC为AO边上的垂线
同理可证另外两条,所以是垂心
由PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA
因为PC垂直于相交直线PA，PB，所以PC垂直于平面PAB
所以PC垂直于AB，而AB在OAB内，因此PC在OAB内的射影OC垂直于AB，即OC是AB边上的高同理OB是CA边上的高
因此点O是△ABC的垂心
垂心
PA⊥PB,PA⊥PC所以，PA⊥面PBC(线与面内两相交直线垂直，线垂直于面。线面垂直判定定理),
所以PA⊥BC（线与面垂直，则线垂直于面内所有直线。性质定理）
因为PO⊥面α，所以AO是PA在面内的射影，所以AO⊥BC（这个可能是射影定理还是三垂线定理忘了）
同理BO⊥AC,CO⊥AB...
全部展开
垂心
PA⊥PB,PA⊥PC所以，PA⊥面PBC(线与面内两相交直线垂直，线垂直于面。线面垂直判定定理),
所以PA⊥BC（线与面垂直，则线垂直于面内所有直线。性质定理）
因为PO⊥面α，所以AO是PA在面内的射影，所以AO⊥BC（这个可能是射影定理还是三垂线定理忘了）
同理BO⊥AC,CO⊥AB
收起
垂心
因为PO垂直于三角形ABC所在平面，所以PO⊥BC，
因为PA⊥PB,PA⊥PC，所以PA⊥PBC平面，所以PA⊥BC
由以上两条得出，BC⊥POA所在平面，所以BC⊥AO
同理可得AC⊥BO，AB⊥CO