作业帮初等变换与单位矩阵区别是什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/03 01:00:02
初等变换与单位矩阵区别是什么?
初等变换与单位矩阵区别是什么?
初等变换与单位矩阵区别是什么?
初等矩阵的概念是随着矩阵初等变换的定义而来的.初等变换有三类：
1、位置变换：矩阵的两行（列）位置交换；
2、数乘变换：数k乘以矩阵某行（列）的每个元素；
3、消元变换：矩阵的某行（列）元素同乘以数k,然后加到另外一行（列）上.
初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换后所得的矩阵.
则根据三类初等变换,可以得到三种不同的初等矩阵.
1、交换阵E(i,j)：单位矩阵第i行与第j行位置交换而得；
2、数乘阵E(i(k))：数k乘以单位矩阵第i行的每个元素（其实就是主对角线的1变成k）；
3、消元阵E(ij(k))：单位矩阵的第i行元素乘以数k,然后加到第j行上.
其上的三种初等矩阵均可看成是单位矩阵的列经过初等变换而得.
初等矩阵的模样其实我们可以尝试写一个3阶或者4阶的单位矩阵,然后进行初等变换来加深一下印象.
首先：初等矩阵都可逆,其次,初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）.
最关键的问题是：初等矩阵能用来做什么?
当我们用初等矩阵左乘一个矩阵A的时候,我们发现矩阵A发生变化而成为矩阵B,而这种变化恰好是一个单位矩阵变成该初等矩阵所产生的变化.具体来说：
左乘的情况：
1、E(i,j)A=B,则矩阵A第i行与第j行位置交换而得到矩阵B；
2、E(i(k))A=B,则矩阵A的第i行的元素乘以数k而得到矩阵B；
3、E(ij(k))A=B,则矩阵A的第i行元素乘以数k,然后加到第j行上而得到矩阵B.
结论1：用初等矩阵左乘一个矩阵A,相当于对矩阵A做了一次相应的行的初等变换.
右乘的情况：
4、AE(i,j)=B,则矩阵A第i列与第j列位置交换而得到矩阵B；
5、AE(i(k))=B,则矩阵A的第i列的元素乘以数k而得到矩阵B；
6、AE(ij(k))=B,则矩阵A的第i列元素乘以数k,然后加到第j列上而得到矩阵B.
结论2：用初等矩阵右乘一个矩阵A,相当于对矩阵A做了一次相应的列的初等变换.
请注意并理解结论1和结论2中的“相应”两字.
初等矩阵为由单位矩阵E经过一次初等变换（三种）而来,我们可以把初等矩阵看成是施加到单位矩阵E上的一个变换.
若某初等矩阵左（右）乘矩阵A,则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换,按照同种形式施加到矩阵A之上.或者说,我们想对矩阵A做变换,但是不是直接对矩阵A去做处理,而是通过一种间接方式去实现.
就像武林中已经失传的绝技“隔山打牛”一样.表演的时候一般是在一块大石上放一块豆腐,然后运力一掌击打在豆腐上,结果豆腐纹丝不动,而下面的大石却已四分五裂矣.
真有异曲同工之妙啊.
所以我们可以得出这样一个结论：
对矩阵所做的任何的初等变换,都可以利用矩阵与初等变换的乘积来表示.