作业帮直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若若丨AB丨=L（L>2p）,则丨MN丨=A、L/4 B、p/2 C、（L-p）/2 D、（L+2p）/8求过程！
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 05:04:14
直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若若丨AB丨=L（L>2p）,则丨MN丨=A、L/4 B、p/2 C、（L-p）/2 D、（L+2p）/8求过程！
直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若
若丨AB丨=L（L>2p）,则丨MN丨=
A、L/4 B、p/2 C、（L-p）/2 D、（L+2p）/8求过程！
直线过抛物线C:x^2=2py(p>0)的焦点F与抛物线C交于A,B两点,过线段AB的中点M作x轴的垂线交抛物线于N点,若若丨AB丨=L（L>2p）,则丨MN丨=A、L/4 B、p/2 C、（L-p）/2 D、（L+2p）/8求过程！
答：选择A
抛物线x^2=2py,p>0
则抛物线开口向上,焦点F（0,p/2）,准线y=-p/2
直线为：y-p/2=kx,y=kx+p/2
代入抛物线方程有：
x^2=2py=2p(kx+p/2)=2pkx+p^2
x^2-2pkx-p^2=0
根据韦达定理：
x1+x2=2pk
x1*x2=-p^2
点M横坐标x=(x1+x2)/2=pk
AB=L,AB^2=L^2：
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=L^2
(k^2+1)(x1-x2)^2=L^2
(x1+x2)^2-4x1x2=L^2/(k^2+1)=4(pk)^2+4p^2=4(k^2+1)p^2
L^2=4(k^2+1)^2*p^2
所以：L=2(k^2+1)p
x=pk代入x^2=2py得：y=(pk^2)/2
点M纵坐标y=kx+p/2=k*pk+p/2=pk^2+p/2
所以：MN=pk^2+p/2-(pk^2)/2=(1/2)(k^2+1)p=(1/2)*(L/2)=L/4
所以：选择A
答案是不是， L／4 ？？？ 我刚做出来，是的话，我跟你发过程。