证明任何一个有限群都与一个置换群同构.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/11 03:18:10

证明任何一个有限群都与一个置换群同构.
证明任何一个有限群都与一个置换群同构.

证明任何一个有限群都与一个置换群同构.
有限群的话,很简单：
设有限群为G={A0,A1,...,An}其中A0是0元素；
则对此群中的任意元素Ai,定义在此群上的置换
Fi：Aj-->Aj + Ai
现在我们验证下所有的这类置换G'={F0,F1,...,Fn}在置换复合运算( 即(Fi+Fj)(Ak)=Fj(Fi(Ak)) )下构成一个群：
运算封闭性：Fi + Fj属于G':设Ai + Aj = Ak属于G,容易验证Fi + Fj = Fk属于G';
零元素F0: Fi + F0 = Fi:这是显然的因为(Fi+F0)(Aj) = Aj + Ai + A0 = Aj + Ai = Fi(Aj);
交换率:Fi + Fj = Fj + Fi,实际上,如果Ai + Aj = Aj + Ai = Ak(这由原群G的交换率保证）,那么Fi + Fj = Fj + Fi = Fk
结合率：同样易验证(Fi + Fj) + Fk = Fi + (Fj + Fk),由原群G的结合率所保证.
综上,G’是一个（置换）群；
容易看出,G'与G是同构的,同构映射f: Ai --> Fi把0元素映射为0元素,
且f(Ai + Aj) = f(Ai) + f(Aj);
且f是双射：f(Ai) = f(Aj) ==> Fi = Fj ==> Fi(A0) = Fj(A0) ==> A0 + Ai = A0 + Aj ==> Ai = Aj,说明是单射；由定义（或者看G和G'都是n个元素,f又是单射）知是满射；

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