用数学归纳法证明:2的n次方>2n+1(n∈N*,n≥3)

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 15:31:19
用数学归纳法证明:2的n次方>2n+1(n∈N*,n≥3)

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用数学归纳法证明:2的n次方>2n+1(n∈N*,n≥3)

用数学归纳法证明:2的n次方>2n+1(n∈N*,n≥3)
n=3时,显然成立
如果n=m时式子成立,则有2^m>2m+1
那么2^m*2^m>(2m+1)*(2m+1)
即2^(m+1)>4m^2+4m+1
而4m^2+4m+1-(2(m+1)+1)=4m^2+2m-2>0
即2^(m+1)>2(m+1)+1
则证明完毕

(1)当n=3时，2^3=8>7=2×3+1，不等式成立
(2)假设n=k(k≥3)时不等式成立，即 2^k>2k+1，k∈N*,k≥3
则 2^(k+1)=2×2^k>2(2k+1)=4k+2=2k+2k+2>2k+2+1=2(k+1)+1
即 2^(k+1)>2(k+1)+1，
所以 不等式对n=k+1时也成立，
根据（1）（2）,有2^n>2n+1(n∈N*,n≥3)

(1)当n=3时，2的n=8，2n+1=7，成立；
(2)设n=m时成立，即2的m次方>2m+1，则当n=m+1时，左边=2的m+1次方=2*2的m次方，右边
=2(m+1)+1=(2m+1)+2，显然2的m次方>2，所以当n=m+1时成立；
所以命题成立。

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