作业帮三角函数定积分!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 02:58:23
三角函数定积分!
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三角函数定积分!
如图所示,这是由对称性决定的
f(x)=[sin(x)]^4的周期是π,对称轴是x=kπ/2（k为整数）.由对称性、定积分的几何性质知原式成立
(sinx)^2=(1-cos2x)/2,因此(sinx)^2的周期与cos2x相同,等于π
(sinx)^4=[(sinx)^2]^2=[(1-cos2x)/2]^2=(1-cos2x)^2/4=[1-2cos2x+(cos2x)^2]/4=[1-2cos2x+(1+cos4x)/2]/4,(sinx)^4的周期是cos2x的周期（等于π）和cos4x的周期（等于π/2）的最小公倍数,故(sinx)^4的周期是π
以此类推,(sinx)^(2k)=a + b*cos2x + c*cos4x + d*cos6x + ...（k=1,2,3...）,周期是π、π/2、π/3……的最小公倍数,即(sinx)^(2k)的周期是π
而(sinx)^(2k)的对称轴是x=kπ/2（k为整数）,即在[0,π]内的图形关于x=π/2对称,故有∫(0→π/2)(sinx)^(2k)dx=∫(π/2→π)(sinx)^(2k)dx=(1/2)∫(0→π)(sinx)^(2k)dx
由此推出∫(0→2π)(sinx)^4*dx=2∫(0→π)(sinx)^4*dx=2*2∫(0→π/2)(sinx)^4*dx=4∫(0→π/2)(sinx)^4*dx
0<=(sinx)^4<=1 如果你认可我的回答，请及时点击左下角的【采纳为满意回答】按钮 我是百度知道专家，你有问题也可以在这里向我提问：
所以0--2π可以分为 4* π/2完全不理解！！这有什么因果关系
收起
sin^4x的周期是π/2 再根据周期函数积分的性质知道得到这个公式
区间[0,2π]的积分区间是[0,π/2]的四倍，由于被积函数是偶函数在每[0,π/2]长度的区间上积分相等，所以上式成立。